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Thermodynamik - Anwendungsbeispiel: Molmasse, Isentropenexponent, Wärmekapazität

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Thermodynamik

Anwendungsbeispiel: Molmasse, Isentropenexponent, Wärmekapazität

Beispiel

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Gegeben sei eine adiabat-reversible Zustandsänderung eines idealen Gases. Es werden im Zustand 1 und im Zustand 2 die folgenden Daten gemessen:

$Z_1$:

$p_1 = 1 bar$, $t_1 = 18°C$ und $v_1 = 0,5 m^3/kg$


$Z_2$:

$p_2 = 25 bar$ und $t_2 = 80°C$.


a) Welche molare Masse $M$ besitzt das Gas?

b) Wie groß ist der Isentropenexponent $\kappa$?

c) Wie groß sind die spezifischen Wärmekapazitäten $c_p$ und $c_v$?

a) Bestimmung der molaren Masse

Die molare Masse $M$ soll zunächst bestimmt werden. Die Zustandsgleichung des idealen Gases lautet:

$pV = m \; R_i \; T$

mit $R_i$ = individuelle Gaskonstante


Man kann die individuelle Gaskonstante auch schreiben als:

$R_i = \frac{R}{M}$.


Dabei ist $R$ die universelle Gaskonstante, welche für alle Gase gilt:

$R = 8,314 J/(K \cdot mol)$.

Die Zustandsgleichung lautet dann:

$pV = m \; \frac{R}{M} \; T$.

In der Aufgabenstellung ist das spezifische Volumen gegeben:

$v = \frac{V}{m}$.


Man kann die Zustandsgleichung dann auch schreiben als (durch $m$ dividieren):

$pv = \frac{R}{M} \; T$.

Auflösen nach $M$:

$M = \frac{R \; T_1}{p_1 \; v_1}$.

Einsetzen der Werte:

$M = \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol} \cdot (18 + 273,15)K}{100.000 Pa \cdot 0,5 \frac{m^3}{kg}}$

$M = 0,04841 \frac{kg}{mol} = 48,41 \frac{g}{mol}$.

b) Bestimmung des Isentropenexponents

Der Isentropenexponent kann (siehe Abschnitt: Isentrope Zustandsänderung) mit den folgenden Zusammenhängen bestimmt werden:

$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\kappa - 1}$

oder

$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}$.

Da das Volumen $V$ nicht gegeben ist, sondern nur das spezifische Volumen und für die Berechnung des Volumens die Masse $m$ gegeben sein muss (ist in diesem Beispiel nicht gegeben), wird die zweite Gleichung herangezogen:

$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}$.

Auflösen nach $\kappa$:

$ln [\frac{T_1}{T_2}] = \frac{\kappa - 1}{\kappa} ln [\frac{p_1}{p_2}]$

 $\frac{\kappa - 1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]}$

$1 - \frac{1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]}$

$ - \frac{1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]} - 1$

$ \frac{1}{\kappa} = -\frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]} + 1$

Einsetzen der Werte:

$ \frac{1}{\kappa} = -\frac{ln [\frac{291,15 K}{353,15 K}] }{ln [\frac{100.000 Pa}{2.500.000 K}]} + 1$


$\frac{1}{\kappa} = 0,94$


$\kappa = 1,06$.

c) Berechnung der spezifischen Wärmekapazität

Die spezifischen Wärmekapazitäten können aus den folgenden Beziehungen bestimmt werden (Abschnitt Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (ideales Gas)):

Methode

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$R_i = c_p - c_v$

mit

$R_i = \frac{R}{M}$

oder

Methode

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$\frac{c_p}{c_v} = \kappa$


Auflösen der ersten Gleichung nach z.B. $c_p$:

$c_p = R_i + c_v$.

Einsetzen in die zweite Gleichung:

$\frac{R_i + c_v}{c_v} = \kappa$.

Auflösen nach $c_v$:

$c_v = \frac{1}{\kappa -1} \cdot R_i$.

Für $R_i = \frac{R}{M}$ einsetzen:

$c_v = \frac{1}{\kappa -1} \cdot \frac{R}{M}$

$c_v = \frac{1}{1,06 - 1} \cdot \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol}}{0,04841 \frac{kg}{mol}}$

$c_v = 2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K}$

Die spezifische Wärmekapazität $c_v$ bei konstantem Volumen (isochore Zustandsänderung) beträgt $2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K}$.

Als nächstes wird die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck bestimmt:

$c_p = R_i + c_v$

wobei $R_i = \frac{R}{M}$

$c_p = \frac{R}{M} + c_v$

$c_p = \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol}}{0,04841 \frac{kg}{mol}} + 2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K} = 3.034,10  \frac{J}{kg \cdot K}$

Die spezifische Wärmekapazität $c_p$ bei konstantem Druck (isobare Zustandsänderung) beträgt $3.034,10 \frac{J}{kg \cdot K}$.