ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Thermodynamik
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases > Isentrope Zustandsänderung:

Anwendungsbeispiel: Molmasse, Isentropenexponent, Wärmekapazität

WebinarTerminankündigung:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Beispiel

Gegeben sei eine adiabat-reversible Zustandsänderung eines idealen Gases. Es werden im Zustand 1 und im Zustand 2 die folgenden Daten gemessen:

$Z_1$:

$p_1 = 1 bar$, $t_1 = 18°C$ und $v_1 = 0,5 m^3/kg$


$Z_2$:

$p_2 = 25 bar$ und $t_2 = 80°C$.


a) Welche molare Masse $M$ besitzt das Gas?

b) Wie groß ist der Isentropenexponent $\kappa$?

c) Wie groß sind die spezifischen Wärmekapazitäten $c_p$ und $c_v$?

a) Bestimmung der molaren Masse

Die molare Masse $M$ soll zunächst bestimmt werden. Die Zustandsgleichung des idealen Gases lautet:

$pV = m \; R_i \; T$

mit $R_i$ = individuelle Gaskonstante


Man kann die individuelle Gaskonstante auch schreiben als:

$R_i = \frac{R}{M}$.


Dabei ist $R$ die universelle Gaskonstante, welche für alle Gase gilt:

$R = 8,314 J/(K \cdot mol)$.

Die Zustandsgleichung lautet dann:

$pV = m \; \frac{R}{M} \; T$.

In der Aufgabenstellung ist das spezifische Volumen gegeben:

$v = \frac{V}{m}$.


Man kann die Zustandsgleichung dann auch schreiben als (durch $m$ dividieren):

$pv = \frac{R}{M} \; T$.

Auflösen nach $M$:

$M = \frac{R \; T_1}{p_1 \; v_1}$.

Einsetzen der Werte:

$M = \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol} \cdot (18 + 273,15)K}{100.000 Pa \cdot 0,5 \frac{m^3}{kg}}$

$M = 0,04841 \frac{kg}{mol} = 48,41 \frac{g}{mol}$.

b) Bestimmung des Isentropenexponents

Der Isentropenexponent kann (siehe Abschnitt: Isentrope Zustandsänderung) mit den folgenden Zusammenhängen bestimmt werden:

$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\kappa - 1}$

oder

$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}$.

Da das Volumen $V$ nicht gegeben ist, sondern nur das spezifische Volumen und für die Berechnung des Volumens die Masse $m$ gegeben sein muss (ist in diesem Beispiel nicht gegeben), wird die zweite Gleichung herangezogen:

$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}$.

Auflösen nach $\kappa$:

$ln [\frac{T_1}{T_2}] = \frac{\kappa - 1}{\kappa} ln [\frac{p_1}{p_2}]$

 $\frac{\kappa - 1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]}$

$1 - \frac{1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]}$

$ - \frac{1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]} - 1$

$ \frac{1}{\kappa} = -\frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]} + 1$

Einsetzen der Werte:

$ \frac{1}{\kappa} = -\frac{ln [\frac{291,15 K}{353,15 K}] }{ln [\frac{100.000 Pa}{2.500.000 K}]} + 1$


$\frac{1}{\kappa} = 0,94$


$\kappa = 1,06$.

c) Berechnung der spezifischen Wärmekapazität

Die spezifischen Wärmekapazitäten können aus den folgenden Beziehungen bestimmt werden (Abschnitt Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (ideales Gas)):

Methode

$R_i = c_p - c_v$

mit

$R_i = \frac{R}{M}$

oder

Methode

$\frac{c_p}{c_v} = \kappa$


Auflösen der ersten Gleichung nach z.B. $c_p$:

$c_p = R_i + c_v$.

Einsetzen in die zweite Gleichung:

$\frac{R_i + c_v}{c_v} = \kappa$.

Auflösen nach $c_v$:

$c_v = \frac{1}{\kappa -1} \cdot R_i$.

Für $R_i = \frac{R}{M}$ einsetzen:

$c_v = \frac{1}{\kappa -1} \cdot \frac{R}{M}$

$c_v = \frac{1}{1,06 - 1} \cdot \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol}}{0,04841 \frac{kg}{mol}}$

$c_v = 2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K}$

Die spezifische Wärmekapazität $c_v$ bei konstantem Volumen (isochore Zustandsänderung) beträgt $2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K}$.

Als nächstes wird die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck bestimmt:

$c_p = R_i + c_v$

wobei $R_i = \frac{R}{M}$

$c_p = \frac{R}{M} + c_v$

$c_p = \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol}}{0,04841 \frac{kg}{mol}} + 2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K} = 3.034,10  \frac{J}{kg \cdot K}$

Die spezifische Wärmekapazität $c_p$ bei konstantem Druck (isobare Zustandsänderung) beträgt $3.034,10 \frac{J}{kg \cdot K}$.

Lückentext
Ein pneumatisches Feuerzeug ist ein kleiner, portabler Zylinder mit einem Kolben. Wenn man den Kolben mit großer Kraft in den Zylinder reindrückt, wird die Luft darin so heiß, dass es eine brennbare Substanz anzünden kann. 

Angenommen, die Querschnittsfläche des pneumatischen Feuerzeugs hat einen Durchmesser von 2 cm. Nimm ebenfalls an, dass der Zylinder mit 0,034 g Sauerstoff bei einer Anfangstemperatur von 20°C gefüllt ist und dass dessen anfänglicher Druck 101.300 Pa beträgt. Wir haben ein kleines Papierstück in den Zylinder reingetan, das bei einer Temperatur von 230°C entflammt. Beantworte die folgenden Fragen:

(Hier sind einige nützliche Informationen zu dieser Übung):
$c_{p \ O2} = c_{p \ O2}|_{T_1}^{T_2} = 0,92 \frac{kJ}{kg \ K}$ 
$c_{v \ O2} = 0,66 \frac{kJ}{kg \ K}$
1. Wie hoch ist der erforderliche Druck im Zylinder, um das Papierstück anzuzünden, wenn die Kompression des Sauerstoffs adiabatisch und isentrop erfolgt?  (Vernachlässige das Volumen des Papierstücks und betrachte Sauerstoff als ein ideales Gas).
Gib den Druck in kPa gerundet auf eine Nachkommastelle ein:    kPa.

2. Wie groß ist das Verhältnis zwischen dem anfänglichen und dem komprimierten Sauerstoffvolumen im pneumatischen Feuerzeug (wenn das Papierstück angezündet wird)?
Gib das Verhältnis mit einer Nachkommastelle ein: 

3. Wie hoch ist die Volumenänderungsarbeit, die für die Kompression erforderlich ist?
Gib den Wert in Joule gerundet auf eine Nachkommastelle ein:
J
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Du musst $\kappa$ berechnen, um die Fragen beantworten zu können.

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Anwendungsbeispiel: Molmasse, Isentropenexponent, Wärmekapazität ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Thermodynamik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses ThermodynamikThermodynamik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Thermodynamik

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Einführung in die Thermodynamik
    • Einleitung zu Kurs: Einführung in die Thermodynamik
  • Grundlagen der Thermodynamik
    • Einleitung zu Grundlagen der Thermodynamik
    • Thermodynamisches System
      • Einleitung zu Thermodynamisches System
      • Thermodynamische Zustandsgrößen
        • Einleitung zu Thermodynamische Zustandsgrößen
        • Extensive und intensive Zustandsgrößen
        • Spezifische und molare Zustandsgrößen
      • Zustandsänderung
    • Thermische Zustandsgrößen
      • Einleitung zu Thermische Zustandsgrößen
      • Volumen
      • Druck
      • Temperatur
    • Thermische Zustandsgleichungen
      • Einleitung zu Thermische Zustandsgleichungen
      • Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
      • Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    • Thermische Ausdehnung
  • 1. Hauptsatz der Thermodynamik
    • 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme
      • Energieerhaltungssatz, Systemenergie
      • Innere Energie, Wärme und Arbeit
        • Einleitung zu Innere Energie, Wärme und Arbeit
        • Arbeit am geschlossenen System
          • Einleitung zu Arbeit am geschlossenen System
          • Volumenänderungsarbeit
          • Nutzarbeit / Verschiebearbeit
          • Dissipationsarbeit
        • Wärme
      • Zusammenfassung für geschlossene Systeme
    • 1. Hauptsatz der Thermodynamik für offene Systeme
      • Stationärer Fließprozess
        • Einleitung zu Stationärer Fließprozess
        • Innere Energie, technische Arbeit, Verschiebearbeit
          • Einleitung zu Innere Energie, technische Arbeit, Verschiebearbeit
          • Verschiebearbeit
          • Technische Arbeit
        • Enthalpie
        • Kinetische und potentielle Energie
        • Massenstrom
        • Anwendungsbeispiele offenes System mit stationärem Fließprozess
    • Kalorische Zustandsgleichungen
      • Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (homogenes System)
      • Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (ideales Gas)
      • Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität
      • Isentropenexponent
  • 2. Hauptsatz der Thermodynamik
    • Einleitung zu 2. Hauptsatz der Thermodynamik
    • Entropie
    • Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases
      • Einleitung zu Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases
      • Isochore Zustandsänderung
        • Einleitung zu Isochore Zustandsänderung
        • Anwendungsbeispiele: Isochore Zustandsänderung
      • Isobare Zustandsänderung
      • Isotherme Zustandsänderung
      • Isentrope Zustandsänderung
        • Einleitung zu Isentrope Zustandsänderung
        • Anwendungsbeispiel: Molmasse, Isentropenexponent, Wärmekapazität
      • Polytrope Zustandsänderung
      • Adiabate Zustandsänderung
    • Kreisprozesse
      • Einleitung zu Kreisprozesse
      • Rechtslaufender Kreisprozess
        • Einleitung zu Rechtslaufender Kreisprozess
        • Wärmekraftmaschine
      • Linkslaufender Kreisprozess
        • Einleitung zu Linkslaufender Kreisprozess
        • Wärmepumpe und Kältemaschine
      • Carnot-Prozess
        • Beschreibung des Carnot-Prozesses
        • Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit
        • Erkenntnisse aus dem Carnot-Prozess
    • Exergie und Anergie
      • Einleitung zu Exergie und Anergie
      • Exergie und Anergie: Geschlossenes System
      • Exergie und Anergie: Offenes System
      • Exergie und Anergie: Wärme
      • Exergieverlust
      • Exergetischer Wirkungsgrad
  • Kreisprozesse
    • Kreisprozesse der Gasturbinenanlagen
      • Einleitung zu Kreisprozesse der Gasturbinenanlagen
      • Joule-Prozess
      • Ericsson-Prozess
    • Stirling-Prozess
    • Kreisprozesse der Verbrennungsmotoren
      • Einleitung zu Kreisprozesse der Verbrennungsmotoren
      • Otto-Prozess (Gleichraumprozess)
      • Diesel-Prozess (Gleichdruckprozess)
  • 67
  • 13
  • 159
  • 72
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 23.07.2016:
    "Es wird sehr viel Wissen vermittelt, welches kompakt gehalten, jedoch trotzdem verständlich gelehrt wird. Zusammenhänge werden gut erklärt und das Wichtigste wird noch einmal Hervorgehoben. Alles in Allem bin ich sehr zufrieden. Leider bin ich etwas spät auf diesen Onlinekurs gestoßen. "

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 28.02.2016:
    "gut nachvollziehbar"

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 27.01.2016:
    "Gute Rechenaufgaben zum selber nachrechnen, Lösung ausführlich und verständlich, gute Videos"

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 12.10.2015:
    "Gut gut läuft :D"

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 09.08.2015:
    "sehr ausführlich und einfach verständlich beschrieben"

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 20.05.2015:
    "Super Kurs, alles total verständlich erklärt!!"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen