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2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases:

Isobare Zustandsänderung

WebinarTerminankündigung:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
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Handelt es sich um eine isobare Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass der Druck $p$ konstant bleibt:

$p = const \; \rightarrow \; \triangle p = 0$.

Beispiel

Was passiert bei einer isobaren Zustandsänderung?

Man stelle sich ein geschlossenes mit Luft gefülltes Gefäß vor, welches einen bestimmten Druck aufweist. Die Wände des Gefäßes seien verschiebbar. Zu Beginn herrscht innerhalb des Gefäßes ein Anfangszustand, das bedeutet es herrscht eine bestimmte Temperatur und die Luft nimmt ein bestimmtes Volumen ein. Wird nun die Temperatur innerhalb des Gefäßes erhöht, beginnen sich die Teilchen schneller zu bewegen, was dazu führt, dass die Teilchen heftiger gegen die Wand stoßen. Bei der isochoren Zustandsänderung hat sich aufgrund der starren Wände der Druck erhöht. Bei der isobaren Zustandsänderung werden sich nun die Wände verschieben und damit das Volumen des Gefäßes vergrößern. Das führt dazu, dass der Druck konstant bleibt. Die Teilchen stoßen zwar auch mit größerer Geschwindigkeit an die Gefäßwand, aber sie tun das seltener (wegen der größeren Entfernung) und damit ist der Impulsübertrag weiterhin konstant. Sinkt die Temperatur wieder auf den Anfangszustand zurück, so zieht sich die Luft wieder zusammen und die Wände nehmen wieder die Ausgangsposition ein.

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, was eine isobare Zustandsänderung für Auswirkungen auf die Zustandsgrößen hat. Dabei werden die Gleichungen aus der Übersicht des Oberkapitels verwendet und nur diejenigen Gleichungen aufgeführt, welche einer Änderung unterliegen.

Thermische Zustandsgleichung

Die thermische Zustandsgleichung gilt für alle idealen Gase und ist allgemein gegeben mit

$pV = m \; R_i \; T$   bzw.    $pV = n \; R \; T$.


Bei einer isobaren Zustandsänderung ist der Druck $p$ konstant, das Volumen $V$ und die Temperatur $T$ hingegen nicht. Demnach gelten die zwei thermischen Zustandsgleichungen

$p V_1 = m \; R_i \; T_1$     bzw.    $p V_1 = n \; R \; T_1$ .

$p V_2 = m \; R_i \; T_2$     bzw.    $p V_2 = n \; R \; T_2$ .


und das Gesetz von Gay-Lussac (Abschnitt Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes) mit $p = const$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.

Volumenänderungsarbeit

Bei der Formel für die innere Energie für ein geschlossenes System

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$

ist bei der isobaren Zustandsänderung mit $p = const$ der Term $W_V = -\int p \; dV $ (= Volumenänderungsarbeit) betroffen. Da der Druck konstant ist, fällt das Integral weg und es bleibt:

Methode

$W_V = - p (V_2 - V_ 1) = p(V_1 - V_2)$.

Man kann hier die thermische Zustandsgleichung einsetzen:

Methode

$W_V = p(V_1 - V_2) = m \; R_i \; (T_1 - T_2)$

bzw.

$W_V = p(V_1 - V_2) = n \; R \; (T_1 - T_2)$.

Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ lässt sich im p,V-Diagramm darstellen und ist die Fläche unter der Kurve zur horizontalen Achse ($V$-Achse). Es handelt sich in der unteren Grafik um Arbeit, welche vom System abgegeben wird und demnach negativ ist.

Isobare Zustandsänderung
Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm

Reversible technische Arbeit (Druckänderungsarbeit)

Bei der isobaren Zustandsänderung ist die am offenen System durchgeführte Druckänderungsarbeit gleich null, weil der Druck konstant ist: 

Methode

$W_t^{rev} = \int_1^2 V \; dp = 0$.

In der obigen Grafik ist deutlich zu sehen, dass die Fläche von der Kurve zur vertikalen Achse (p-Achse) Null ist. Das ist genau die Fläche, welche die Druckänderungsarbeit angibt. Der Grund dafür liegt darin, dass der Druck bei der isobaren Zustandsänderung konstant ist.

Wärme

Zur Berechnung der zu- bzw. abgeführten Wärme ändert sich nicht die Gleichung für die innere Energie

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$

des geschlossenen Systems wie im vorherigen Abschnitt bei der isochoren Zustandsänderung. Das liegt daran, dass die Volumenänderungsarbeit $W_V$ hier nicht null wird. Es ändert sich aber dafür die Gleichung für die Enthalpie für das offene System

$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev} + W_{diss}$.

Aufgelöst nach der Wärme $Q$ und mit der Druckänderungsarbeit gleich Null $W_t^{rev} = 0$ berechnet sich die Wärme im offenen System dann:

$Q = H_2 - H_1 - W_{diss}$.

Man kann $H_2 - H_1$ auch kalorisch ausdrücken mit:

$H_2 - H_1 = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$.

Damit ist die Wärme für einen irreversiblen Prozess:

Methode

$Q = H_2 - H_1 - W_{diss} = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) - W_{diss}$    

Handelt es sich um einen reversiblen Prozess, so ist $W_{diss} = 0$ und damit:

Methode

$Q = H_2 - H_1 =  m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$ .        

Entropie

Bei der Entropie ändert sich die folgende Formel:

$\triangle S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dH - V \; dp}{T}$.


Da der Druck konstant ist, wird $-V \; dp = 0$, daraus folgt:

$\triangle S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dH}{T} = \int_1^2 \frac{m \; c_p \; dT}{T}$.


Integriert ergibt das ganze:

Methode

$S_2 - S_1 = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} \; \ln{\frac{T_2}{T_1}}$.

Die Entropie lässt sich in einem T,S-Diagramm darstellen. Die Entropie kann auch geschrieben werden als

$\int T \; dS = Q + W_{diss}$.

Dabei ist allgemein gesehen die Fläche unter der Kurve (Isobare) zur $S$-Achse die Summe aus Wärme $Q$ und Dissipationsarbeit $W_{diss}$. In dem Falle der isobaren Zustandsänderung ist diese Fläche auch gleichzeitig die Änderung der Enthalpie $H_2 - H_1$. Der Grund liegt darin, dass die Druckänderungsarbeit $W_t^{rev}$ wegfällt und damit die Gleichung

$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev} + W_{diss}$

nun folgendermaßen aussieht:

$H_2 - H_1 = Q + W_{diss}$.

Isobare Zustandsänderung T,S-Diagramm
Isobare Zustandsänderung im T,S-Diagramm

Handelt sich um einen reversiblen Prozess so fällt auch $W_{diss}$ weg und damit ist:

$Q = H_2 - H_1$

Handelt es sich hingegen um einen irreversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = 0$:

$W_{diss} = H_2 - H_1$

Handelt es sich um einen reversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = W_{diss} = 0$:

$H_2 - H_1 = 0$

Merke

Bei der isobaren Zustandsänderung ist im T,S-Diagramm die Fläche unter der Isobaren nicht nur die Summe aus Wärme und Dissipationsenergie (bei einem irreversibler Prozess in einem nicht adiabaten System) sondern ebenfalls die Änderung der Enthalpie.

Lückentext
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Bei der isobaren Zustandsänderung ist im T,S-Diagramm die Fläche unter der Isobaren nicht nur die Summe aus Wärme und Dissipationsenergie (bei einem irreversibler Prozess in einem nicht adiabaten System) sondern ebenfalls die Änderung der .
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Autor: Jessica Scholz

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