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Thermodynamik

Isochore Zustandsänderung

Handelt es sich um eine isochore Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass das Volumen $V$ konstant bleibt:

$V = const \; \rightarrow \; \triangle V = 0$.

Beispiel

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Was passiert bei einer isochoren Zustandsänderung?

Man stelle sich ein geschlossenes mit Luft gefülltes Gefäß vor, welches einen bestimmten Druck aufweist. Die Wände des Gefäßes seien starr. Zu Beginn herrscht innerhalb des Gefäßes ein Anfangszustand, das bedeutet es herrscht eine bestimmte Temperatur (z.B. Umgebungstemperatur) und die Luft nimmt ein bestimmtes Volumen ein. Wird nun die Temperatur innerhalb des Gefäßes erhöht, beginnen sich die Teilchen schneller zu bewegen, was dazu führt, dass die Teilchen heftiger an die Wand stoßen und es zu einem größeren Impulsübertrag kommt, also einem größeren Druck. Wären die Wände nun nicht starr, so würde sich die Luft ausdehnen (das Volumen vergrößert sich) und damit würde der Druck und die Temperatur wieder sinken. Da nun aber die Wände starr sind kann sich die Luft nicht ausdehnen (Volumen bleibt konstant). Der Druck und die Temperatur steigen somit an. Ist das Gefäß adiabat bleibt dieser Zustand bestehen. Bei einem nicht adiabaten Gefäß (Wärme kann über die Systemgrenzen fließen) wird sich die Temperatur irgendwann mit der der Umgebung angleichen und die Luft kühlt wieder ab. Dies führt dann auch wieder zur Reduktion des Drucks.

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, was eine isochore Zustandsänderung für Auswirkungen auf die Zustandsgrößen hat. Dabei werden die Gleichungen aus der Übersicht des vorherigen Kapitels verwendet und nur diejenigen Gleichungen aufgeführt, welcher einer Änderung unterliegen.

Thermische Zustandsgleichung

Die thermische Zustandsgleichung gilt für alle idealen Gase und ist allgemein gegeben mit

$pV = m \; R_i \; T$     bzw.    $pV = n \; R \; T$


Bei einer isochoren Zustandsänderung ist das Volumen konstant, der Druck $p$ und die Temperatur $T$ hingegen nicht. Demnach gelten die zwei thermischen Zustandsgleichungen

$p_1 V = m \; R_i \; T_1$     bzw.    $p_1 V = n \; R \; T_1$ 

$p_2 V = m \; R_i \; T_2$     bzw.    $p_2 V = n \; R \; T_2$ 


und das Gesetz von Amontons (Abschnitt Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes) mit $V = const$:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}$

Volumenänderungsarbeit

Bei der Formel für die innere Energie für ein geschlossenes System

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$

ist bei der isochoren Zustandsänderung der Term $W_V = -\int p \; dV$ (= Volumenänderungsarbeit) betroffen. Es findet keine Volumenänderungsarbeit statt, da das Volumen sich nicht ändert, demnach ist:

Methode

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$W_V = -\int_1^2 p \; dV = 0$.

Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ lässt sich im p,V-Diagramm darstellen und ist die Fläche unter der Kurve zur horizontalen Achse ($V$-Achse). Im Falle der isochoren Zustandsänderung ist diese allerdings Null und es existiert demnach auch keine Fläche unter der Kurve (siehe Grafik weiter unten).

Wärme

Für die Berechnung der Wärme ändert sich die Gleichung der inneren Energie für das geschlossene System, weil die Volumenänderungsarbeit gleich Null wird $W_V = 0$:

$U_2 - U_1 = Q + W_{diss}$.

Umgestellt nach $Q$:

$Q = U_2 - U_1 - W_{diss}$.

Man kann $U_2 - U_1$ auch kalorisch ausdrücken mit:

$U_2 - U_1 = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$

Damit ist die Wärme für einen irreversiblen Prozess:

Methode

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$Q = U_2 - U_1 - W_{diss} = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) - W_{diss}$    

Handelt es sich um einen reversiblen Prozess, so ist $W_{diss} = 0$ und damit:

Methode

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$Q = U_2 - U_1 =  m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$                         

Reversible technische Arbeit (Druckänderungsarbeit)

Die reversible technische Arbeit $W_t^{rev} = \int_1^2 V \; dp$ ist bei offenen Systemen mit konstantem Volumen $V = const$:

Methode

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$W_t^{rev} = \int_1^2 V \; dp = V(p_2 - p_1) $


Man kann hier auch die thermische Zustandsgleichung einsetzen:

Methode

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$W_t^{rev} = V(p_2 - p_1) = p_2 V- p_1 V = m \; R_i \; (T_2 - T_1)$

Die Druckänderungsarbeit lässt sich, sowie die Volumenänderungsarbeit, im p,V-Diagramm darstellen. Die Druckänderungsarbeit $W_t^{rev}$ stellt die Fläche zur vertikalen Achse ($p$-Achse) dar:

Druckänderungsarbeit
Druckänderungsarbeit

Entropie

Bei der Entropie ändert sich die folgende Formel:

$\triangle S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dU + p \; dV}{T}$


Da das Volumen konstant ist, wird $p \; dV = 0$, daraus folgt:

$\triangle S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dU}{T} = \int_1^2 \frac{m \; c_v \; dT}{T}$


Integriert ergibt das ganze:

$S_2 - S_1 = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \; \ln{\frac{T_2}{T_1}}$

Die Entropie lässt sich in einem T,S-Diagramm darstellen. Die Entropie kann auch geschrieben werden als

$\int T \; dS = Q + W_{diss}$.

Dabei ist allgemein gesehen die Fläche unter der Kurve (Isochore) zur $S$-Achse die Summe aus Wärme $Q$ und Dissipationsarbeit $W_{diss}$. In dem Falle der isochoren Zustandsänderung ist diese Fläche auch gleichzeitig die Änderung der inneren Energie $U_2 - U_1$. Der Grund liegt darin, dass die Volumenänderungsarbeit wegfällt und damit die Gleichung

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$

nun folgendermaßen aussieht:

$U_2 - U_1 = Q + W_{diss}$.

Entropie
Entropie

Handelt sich um einen reversiblen Prozess so fällt auch $W_{diss}$ weg und damit ist:

$Q = U_2 - U_1$

Handelt es sich hingegen um einen irreversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = 0$:

$W_{diss} = U_2 - U_1$

Handelt es sich um einen reversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = W_{diss} = 0$:

$U_2 - U_1 = 0$

Merke

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Bei der isochoren Zustandsänderung ist im T,S-Diagramm die Fläche unter der Isochoren nicht nur die Summe aus Wärme und Dissipationsenergie (bei einem irreversibler Prozess in einem nicht adiabaten System) sondern ebenfalls die Änderung der inneren Energie.

Im nächsten Abschnitt erfolgt ein ausführliches Beispiel zur isochoren Zustandsänderung.