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Thermodynamik

Anwendungsbeispiele: Isochore Zustandsänderung

Beispiel

Gegeben sei ein mit 1,5 kmol einatomigem idealem Gas gefüllter Druckbehälter. Der Druck sei laut Manometer bei 350 kPa, der Umgebungsdruck sei gleich dem Atmosphärendruck bei 101,3 kPa. Die Temperatur in dem Druckbehälter liegt bei 18°C. Die spezifische isochore Wärmekapazität liegt bei 590 J/(kg K).

(a) Wie groß ist das Volumen des Druckbehälters?

(b) Wie groß ist das spezifische Volumen des Gases?

(c) Dem Behälter wird 580 kJ an Wärme zugeführt. Wie groß ist der Temperaturunterschied?

(d) Welchen Druck zeigt das Manometer an?

(e) Wie ändert sich die innere Energie des Gases?

(f) Wie ändert sich die Enthalpie?

(a) Volumen

Das Volumen kann mittels der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gase bestimmt werden:

$pV = m \; R_i \; T$     bzw.   $pV = n \; R \; T$.

Da in dem obigen Beispiel mit 1,5 kmol die Stoffmenge $n$ angegeben ist, wird die Gleichung 

$pV = n \; R \; T$

verwendet, mit der universellen Gaskonstante $R$:

Methode

$R = 8314,46 J/(kmol \; K)$.

$n$, $R$ und $T$ eingesetzt in die thermische Zustandsgleichung ergibt:

$pV = 1 kmol \cdot 8.314,46 J/(knol \; K) \cdot (18 + 273,15) K$.

Den Druck den das Manometer anzeigt ist der Differenzdruck $p_d$. Man muss den Absolutdruck $p$ berechnen mit:

$p = p_b + p_d = 101,3 kPa + 350 kPa = 451,3 kPa$


Nach $V$ aufgelöst und die Werte eingesetzt:

$V = \frac{1,5 kmol \cdot 8.314,46 J/(kmol \; K) \cdot (18 + 273,15) K}{451.300 Pa}$

$V = 8,05 m^3$

Der Behälter hat ein Volumen von 8,05 m³.

(b) Spezifisches Volumen

Das spezifische Volumen $v$ des Gases ist das Volumen geteilt durch die Masse $m$. Hierzu wird wieder die thermische Zustandsgleichung herangezogen:

$pV = m \; R_i \; T$

mit $v = \frac{V}{m} \; \rightarrow \; V = v \cdot m$


Eingesetzt und $m$ gekürzt ergibt:

$pv = R_i \; T$

$v = \frac{R_i \; T}{p}$

Hier muss nun die spezifische Gaskonstante ermittelt werden. Es muss mittels Isentropenexponent $\kappa$ (siehe gleichnamigen Abschnitt) für einatomige ideale Gase die spezifische Gaskonstante ermittelt werden. Der Isotropenexponent für einatomige ideale Gase ist (Tabellenwerk entnommen):

$\kappa = 1,6667$.


Berechnen kann man diesen durch

Methode

$\kappa =  1 + \frac{R_i}{c_v}$.

Da hier kein spezielles Gas gegeben ist, kann man die spezifische Gaskonstante auch nicht aus Tabellenwerken ablesen. Man muss also die obige Gleichung nach $R_i$ auflösen und diese dann berechnen:

$R_i = (\kappa - 1) c_v$.

Die spezifische Gaskonstante ist damit:

$R_i = (1,6667 - 1) \cdot 590 J/(kg \; K) = 393,35 J/(kg \; K)$.

Die Berechnung des spezifischen Volumen mittels der thermischen Zustandsgleichung:

$v = \frac{R_i \; T}{p} = \frac{393,35 J/(kg \; K) \cdot (291,15 K}{451.300 Pa}$

$v = 0,254 m^3/kg$

(c) Temperaturänderung

Dem Behälter wird $Q = 580 kJ$ an Wärme zugeführt. Wie ändert sich die Temperatur?


Folgende Gleichung für die Wärme wird hier angewandt:

$Q = U_2 - U_1 =  m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$    

Da die Masse wieder nicht bekannt ist, wird die molare Wärmekapazität $C_{mv}$ herangezogen, welche für einatomige ideale Gase

Methode

$C_{mv} = \frac{3}{2} R_m$ 

entspricht (Tabellenwerk entnommen). Es gilt:

Methode

$C_{mv} = M c_v$   mit  $M = \frac{m}{n}$

$C_{mv} = \frac{m}{n} c_v$      |multipliziert mit $n$

Methode

$n C_{mv} = m c_v$

$n \cdot \frac{3}{2} R_m = m \; c_v$.

Es kann nun die obige Gleichung angewandt werden:

$Q = U_2 - U_1 = n \; C_{mv} (T_2 - T_1)$        |aufgelöst nach $T_2 - T_1$

$T_2 - T_1 = \frac{Q}{n \; C_{mv}}$

$= \frac{580.000 J}{1,5 kmol \cdot \frac{3}{2} 8.314,46 J/(kmol \; K)} = 31 K$

Die Temperatur ändert sich um 31 K auf 322,15 K bzw. 49 °C.

(d) Differenzdruck

Da es sich hierbei um ein ideales Gas handelt und $V = const$ kann das Gesetz von Amontons angewandt werden:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}$

$p_2 = \frac{T_2}{T_1} \cdot p_1$

$p_2 = \frac{322,15 K}{291,15 K} \cdot 451, 3 kPa = 499,35 kPa$.

Der Absolutdruck beträgt demnach 499,35 kPa. Das Manometer zeigt allerdings nur den Differenzdruck $p_d$ an, der ergibt sich durch

$p = p_b + p_d \rightarrow p_d = p - p_b = 499,35 kPa - 101,3 kPa = 398,05 kPa$.

(e) Änderung der inneren Energie

Die Änderung der inneren Energie ist bei der isochoren Zustandsänderung gleich der Summe aus Wärme und Dissipationsarbeit. Da keine Dissipationsarbeit anfällt ist die Änderung der inneren Energie gleich der Wärme:

$U_2 - U_1 = Q = 580 kJ$.

(f) Enthalpieänderung

Die Enthalpie ergibt sich durch

$H = U + pV$

Die Änderung der Enthalpie ergibt sich mit:

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + \triangle p \; V + p \triangle V$


Da es sich hierbei um ein konstantes Volumen handelt wird der Term $p \triangle V = 0$:

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + \triangle p \; V $

$H_2 - H_1 = 580.000 J + 8,05 m^3 (499.350 Pa - 451.300 Pa) = 966.802,5 J$