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2. Hauptsatz der Thermodynamik > Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases:

Isotherme Zustandsänderung

WebinarTerminankündigung:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
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Handelt es sich um eine isotherme Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass die Temperatur $T$ konstant bleibt:

$T = const \; \rightarrow \; \triangle T = 0$.

Was passiert bei einer isothermen Zustandsänderung?

Bei der isothermen Zustandsänderung wird die Temperatur konstant gehalten. Es wird ein Kolben betrachtet, in welchem sich Luft befindet. Das Volumen, der Druck und die Temperatur nehmen einen bestimmten Wert an. Es soll sich hierbei um einen nicht-adiabten Kolben handeln. Das bedeutet, dass Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Die Temperatur entspricht demnach zunächst der Umgebungstemperatur. Nun wird die Luft innerhalb des Kolbens verdichtet. Das bedeutet, dass das Volumen sich verringert. Die Luft hat nun weniger Platz zur Verfügung, was dazu führt, dass der Druck ansteigt. Die Temperatur steigt ebenfalls an. Aufgrund des nicht-adiabten Systems wird die Luft irgendwann wieder die Temperatur der Umgebung annehmen, also die Ausgangstemperatur. Grund dafür ist die Wärme, die über die Systemgrenzen entweichen kann. Die Wärme entweicht aber nicht so schnell, dass die Temperatur sofort der Umgebunstemperatur entspricht (z.B. heiße Tasse Tee). Wir möchten aber die Temperatur gar nicht erst ansteigen lassen. Um nun also den Temperaturanstieg zu verhindern kann z.B. der Kolben mit einem Kältereservoir in Verbindung gebracht werden, welcher der Luft sofort die gesamte Wärme entzieht, so dass die Umgebungstemperatur der Luft beibehalten wird.


In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, was eine isotherme Zustandsänderung für Auswirkungen auf die Zustandsgrößen hat. Dabei werden die Gleichungen aus der Übersicht des Oberkapitels verwendet und nur diejenigen Gleichungen aufgeführt, welche einer Änderung unterliegen.

Thermische Zustandsgleichung

Die thermische Zustandsgleichung gilt für alle idealen Gase und ist allgemein gegeben mit

$pV = m \; R_i \; T$   bzw.    $pV = n \; R \; T$.


Bei einer isothermen Zustandsänderung ist die Temperatur $T$ konstant, das Volumen $V$ und der Druck $p$ hingegen nicht. Demnach gelten die zwei thermischen Zustandsgleichungen

$p_1 V_1 = m \; R_i \; T$     bzw.    $p_1 V_1 = n \; R \; T$ .

$p_2 V_2 = m \; R_i \; T$     bzw.    $p_2 V_2 = n \; R \; T$ .


und das Gesetz von Boyle und Mariotte (Abschnitt Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes) mit $T = const$:

$pV = const$.

Für den Vergleich von zwei Volumina bzw. Drücken gilt dann:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$.

p,V-Diagramm

Im p,V-Diagramm verläuft die Isotherme wie eine gleichseitige Hyperbel. Das bedeutet die p-Achse (y-Achse) und die V-Achse (x-Achse) stellen die Asymptoten dar:

$pV = const$.

Mathematisch ausgedrückt:

$xy = const$.

Die Ableitung von $pV = const$ führt zu:

$p dV + dp V = 0$

$\rightarrow \; \frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$.

Isotherme Zustandsänderung
Isotherme: Gleichseitige Hyperbel

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der $V$-Achse eine Strecke der Länge $V_1$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke mit der Länge $p_1$ durch den Zustand 1 gezeichnet (gestrichelte Linie). Die Tangente ist dann diejenige Strecke, welche durch den Zustand 1 und durch den Endpunkt der schwarzen Strecke verläuft. Es handelt sich hierbei um ein rechtwinkliges Dreieck. Man kann die Tangente also auch mittels Satz des Pythagoras bestimmen:

$\text{Tangente} = \sqrt{p_1^2 + V_1^2}$

oder man verwendet die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens, wenn man herausfinden möchte, wie groß die Winkel sind.

Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit für ein geschlossenen System ist mit $T = const$:

Methode

$W_V = - \int_1^2 p \; dV$.

Es ändert sich also nichts an der Volumenänderungsarbeit, da sowohl $p$ als auch $V$ nicht konstant sind.

Man kann die thermische Zustandsgleichung, aufgelöst nach $p$, in die Volumenänderungsarbeit $W_V$ einsetzen:

$p = \frac{ m \; R_i \; T}{V}$    bzw.   $p = \frac{ n \; R \; T}{V}$.

Eingesetzt ergibt sich:

$W_V = - \int_1^2  m \; R_i \; T\frac{dV}{V}$.

Da in dieser Gleichung $T$ konstant ist ($m$ und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:

$W_V = -  m \; R_i \; T \; (\ln(V_2) - \ln(V_1))$

$\rightarrow W_V = m \; R_i \; T (\ln(V_1) - \ln(V_2))$.

Methode

$\rightarrow \; W_V = m \; R_i \; T \; \ln \frac{V_1}{V_2}$.

Setzt man nun für $m \; R_i \; T$ stattdessen $p_1V_1$ ein (denn $p_1V_1 = mR_iT$), und für $\ln \frac{V_1}{V_2} = \ln \frac{p_2}{p_1}$ (denn nach dem Gesetz von Boyle und Mariotte gilt $\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$), so ergibt sich:

Methode

$\rightarrow \; W_V = p_1 V_1 \ln \frac{p_2}{p_1}$.

Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ lässt sich im p,V-Diagramm darstellen und ist die Fläche unter der Kurve zur horizontalen Achse ($V$-Achse). Es handelt sich bei der Volumenänderungsarbeit um Arbeit, welche vom System abgegeben wird und demnach negativ ist.

Isotherme Zustandsänderung p,V-Diagramm
Isotherme Zustandsänderung im p,V-Diagramm (Volumenänderungsarbeit)

Reversible technische Arbeit (Druckänderungsarbeit)

Bei der isothermen Zustandsänderung ist die am offenen System durchgeführte Druckänderungsarbeit unverändert:

Methode

$W_t^{rev} = \int_1^2 V \; dp$.

Durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung (umgestellt nach $V$) in die Druckänderungsarbeit $W_t^{rev}$, ergibt sich:

$W_t^{rev} = \int_1^2 m \; R_i \; T \frac{dp}{p}$.

Da $T$, $R_i$ und $m$ konstant sind, kann man das Intergal wie folgt auflösen:

$W_t^{rev} = m \; R_i \; T \; \ln(p_2) - \ln(p_1)$

Methode

$\rightarrow W_t^{rev} = m \; R_i \; T \; \ln(\frac{p_2}{p_1})$.

Setzt man nun für $m \; R_i \; T$ stattdessen $p_1V_1$ ein (denn $p_1V_1 = mR_iT$) so ergibt sich:

Methode

$\rightarrow W_t^{rev} = p_1V_1 \ln(\frac{p_2}{p_1})$.

Die Gleichung der Druckänderungsarbeit entspricht genau der Gleichung für die Volumenänderungsarbeit (bei isothermer Zustandsänderung). Man kann die Druckänderungsarbeit ebenfalls in einem p,V-Diagramm darstellen. In diesem Fall entspricht die Druckänderungsarbeit der Fläche unter der Kurve hin zur vertikalen Achse (p-Achse).

Isotherme Zustandsänderung p,V-Diagramm
Isotherme Zustandsänderung im p,V-Diagramm (Druckänderungsarbeit)

Merke

Die Fläche der Druckänderungsarbeit ist bei der gleichseitigen Hyperbel, also bei der isothermen Zustandsänderung, gleich der Fläche der Volumenänderungsarbeit.

Wärme

Bei der iosthermen Zustandsänderung $T = const$ ändert sich die innere Energie und die Enthalpie nicht, da diese temperaturabhängig sind:

$U_2 - U_1 = \int_1^2 m \; c_v \; dT = 0$

und

$H_2 - H_1 = \int_1^2 m \; c_p \; dT = 0$.

Merke

Die Änderung der inneren Energie und die Änderung der Enthalpie ist bei der isothermen Zustandsänderung gleich Null.

Daraus folgt für die Berechnung der Wärme aus der Formel für die Änderung der inneren Energie:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss} = 0$.

Für einen irreversiblen Prozess ergibt sich damit für die Wärme:

Methode

$Q = -W_V - W_{diss}$.

Für einen reversiblen Prozess mit $W_{diss} = 0$ ergibt sich:

Methode

$Q = -W_V$ .


Es folgt für die Berechnung der Wärme aus der Formel für die Änderung der Enthalpie:

$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev} + W_{diss} = 0$.

Für einen irreversiblen Prozess ergibt sich damit für die Wärme:

Methode

$Q = -W_t^{rev} - W_{diss}$.

Für einen reversiblen Prozess mit $W_{diss} = 0$ ergibt sich damit für die Wärme:

Methode

$Q = -W_t^{rev}$.       

Merke

Bei der isothermer Zustandsänderung muss bei zugeführter Arbeit genau die gleiche Höhe an Wärme wieder abgegeben werden bzw. bei abgegebener Arbeit die gleiche Höhe in Form von Wärme wieder zugeführt werden.

Entropie

Bei der Entropie ändert sich die folgende Formel:

$\triangle S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$.

Da $T = const$ kann man das Integral wie folgt auflösen:

$\triangle S = S_2 - S_1 = \frac{Q + W_{diss}}{T}$.

Wie bereits oben erwähnt ist aufgrund der konstanten Temperatur die Änderung der inneren Energie und die Enthalpieänderung gleich Null. Die Formeln für die Entropie sehen wie folgt aus:

$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dU + p \; dV}{T} = \int_1^2 \frac{p \; dV}{T}$.

Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung (nach $p$ aufgelöst):

$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{ m\; R_i \; T \; dV}{V \; T}$.

Alle konstanten vor das Integral ziehen ($m$, $R_i$, $T$):

$S_2 - S_1 = m \; R_i \int_1^2 \frac{dV}{V}$.

Integral auflösen ergibt die Änderung der Entropie mittels Volumenverhältnis:

Methode

$S_2 - S_1 = m \; R_i \; \ln(V_2) - \ln(V_1) = m \; R_i \; \ln (\frac{V_2}{V_1})$.

Einsetzen des Gesetzes von Boyle und Mariotte $\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$ ergibt die Änderung der Entropie mittels Druckverhältnis:

Methode

$S_2 - S_1 = m \; R_i \; \ln (\frac{p_1}{p_2})$.

Die Entropie lässt sich in einem T,S-Diagramm darstellen. Die Entropie kann auch geschrieben werden als

$\int T \; dS = Q + W_{diss}$.

Da $T$ konstant ist, fällt das Integral weg:

$T(S_2 - S_1) = Q + W_{diss}$.

Dabei ist allgemein gesehen die Fläche unter der Kurve (Isobare) zur $S$-Achse die Summe aus Wärme $Q$ und Dissipationsarbeit $W_{diss}$. In dem Falle der isothermen Zustandsänderung ist diese Fläche auch gleichzeitig die reversible technische Arbeit $W_t^{rev}$ (beim offenen System) sowie die Volumenänderungsarbeit $W_V$ (beim geschlossenen System). Das bedeutet also, dass die Fläche unter der Kurve im T,S-Diagramm genau so groß ist, wie die Flächen im p,V-Diagramm. Der Grund dafür liegt darin, dass die Änderung der inneren Energie und die Änderung der Enthalpie gleich Null sind und die Gleichungen dann folgendermaßen aussehen:

$Q + W_{diss} = -W_V = T(S_2 - S_1)$.

$Q + W_{diss} = -W_t^{rev} = T(S_2 - S_1)$.

Isotherme Zustandsänderung T,S-Diagramm
Isotherme Zustandsänderung im T,S-Diagramm

Handelt sich um einen reversiblen Prozess so fällt auch $W_{diss}$ weg und damit ist:

$Q = -W_V = - W_t^{rev}$

Handelt es sich hingegen um einen irreversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = 0$:

$W_{diss} = -W_V = - W_t^{rev}$

Handelt es sich um einen reversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = W_{diss} = 0$:

$-W_V = -W_t^{rev} = 0$

Merke

Bei der isothermen Zustandsänderung ist im T,S-Diagramm die Fläche unter der Isothermen nicht nur die Summe aus Wärme und Dissipationsenergie (bei einem irreversibler Prozess in einem nicht adiabaten System) sondern ebenfalls die Volumenänderungsarbeit (geschlossenes System) sowie die Druckänderungsarbeit (offenes System).

Multiple-Choice
Beziehe dich auf das folgende Diagramm (aus diesem Unterkapitel):

 Tangente
Welches ist die korrekte Interpretation der Steigung der Tangente?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Jessica Scholz

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