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Thermodynamik

Polytrope Zustandsänderung

Handelt es sich um eine polytrope Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass das Produkt $pV^n$ konstant bleibt:

$pV^n = const $.

Der Exponent $n$ wird Polytropenexponent genannt.

Merke

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Die in den vorherigen Abschnitten behandelten einfachen Zustandsänderungen stellen Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung dar. 

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung

Exponent $n$Thermische ZustandsgleichungZustandsänderung
$n = 0$$pV^0 = const$Isobar
$n = 1$$pV^1 = const$Isotherm
$n \to \infty$$pV^{\infty} = const$Isochor
$n = \kappa = \frac{c_p}{c_v}$$pV^{\kappa} = const$Isentrop

p,V-Diagramm

Die Polytropen können im p,V-Diagramm dargestellt werden. Aus den vorherigen Kapiteln ist bereits die grafische Veranschaulichung von der Isobaren, Isochoren, Isothermen und Isentropen erfolgt. Es werden noch drei weitere Polytrope betrachtet. Und zwar die Polytrope zwischen der Isothermen und der Isentropen mit $1 < n < \kappa$, die Polytrope zwischen der Isochoren und der Isentropen mit $\kappa < n < \infty$ und die Polytrope mit $n < 0$.

Polytrope Zustandsänderung im p,V-Diagramm
Polytrope Zustandsänderung im p,V-Diagramm

Von besonderem Interesse ist der Bereich zwischen der Isentropen und der Isothermen, also die Polytrope mit dem Polytropenexponenten $1 < n < \kappa$. Die isotherme Zustandsänderung stellt einen Grenzfall dar. Dieser tritt nur ein, wenn die gesamte zugeführte bzw. abgegebene Arbeit in Form von Wärme abgegeben bzw. zugeführt wird. Dies geschieht nur bei sehr langsam ablaufenden Prozessen. Die isentrope Zustandsänderung tritt nur dann ein, wenn es sich um einen reversiblen Prozess in einem adiabaten System handelt. Dies geschieht nur bei sehr schnell laufenden Prozesses. Letzteres ist aber annähernd möglich. Deswegen wird sich die Polytrope mit dem Exponenten $1 < n < \kappa$ der Isentropen weiter annhähern, je schneller ein Prozess abläuft.

Thermische Zustandsgleichung

Die thermische Zustandsgleichung gilt für alle idealen Gase und ist allgemein gegeben mit

$pV = m \; R_i \; T$   bzw.    $pV = n \; R \; T$.


Da das Produkt aus $pV^n$ konstant ist, gilt:

$p_1V_1^n = p_2V_2^n$.

Der folgende Zusammenhang wurde aus dem vorherigen Abschnitt Isentrope Zustandsänderung übernommen und $\kappa = n$ gesetzt:

Methode

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$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{n-1} = (\frac{p_2}{p_1})^{\frac{1-n}{n}}$.

Der Polytropenexponent lässt sich ermitteln, wenn der Anfangs- und Endzustand gegeben sind mit:

Methode

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$n = \frac{\ln \frac{p_2}{p_1}}{\ln \frac{p_2}{p_1} - \ln \frac{T_2}{T_1}} = \frac{\ln \frac{p_2}{p_1}}{\ln \frac{V_1}{V_2}}$.

Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit für ein geschlossenen System ist mit $pV^n = const$ durch die folgenden Gleichungen bestimmbar (die Gleichungen wurden aus dem vorherigen Abschnitt entnommen und $\kappa = n$ gesetzt):

Methode

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$W_V = \frac{p_1V_1}{n-1} [(\frac{V_1}{V_2})^{n-1} - 1]$.

Mit obigem Zusammenhang $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{n-1}$ ergibt sich:

Methode

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$W_V = \frac{p_1V_1}{n-1} [\frac{T_2}{T_1} - 1]$.

Mit dem Zusammenhang $(\frac{V_2}{V_1})^{n-1} = (\frac{p_2}{p_1})^{\frac{n-1}{n}}$ ergibt sich:

Methode

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$W_V = \frac{p_1V_1}{n-1} [(\frac{p_2}{p_1})^{\frac{n-1}{n}} - 1]$.

Durch Einsetzen von der thermischen Zustandsgleichung $p_1V_1 = m \; R_i \; T_1$ ergibt sich:

Methode

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$W_V = \frac{m \; R_i}{n-1} \; (T_2 - T_1)$.

Ersetzen von $R_i = c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (\kappa -1)$ ergibt:

Methode

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$W_V = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \frac{\kappa -1}{n-1} (T_2 - T_1)$.

Alle 5 Gleichungen sind relevant zur Berechnung der Volumenänderungsarbeit in Abhängigkeit davon, welche Zustandsgrößen gegeben sind.

Die Volumenänderungsarbeit lässt sich -wie in den vorherigen Kapiteln bereits gezeigt- im p,V-Diagramm darstellen und stellt die Fläche unter den Polytropen zur V-Achse dar. 

Beispiel

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Es sei $n = 0$ (isobare Zustandsänderung) gegeben. Das bedeutet $p = const$. Welche der obigen Gleichungen kann man nun anwenden, um die Volumenänderungsarbeit bei der isobaren Zustandsänderung zu bestimmen?

Es können alle Gleichungen verwendet werden (in Abhängigkeit davon welche Zustandsgrößen gegeben sind) außer diejenige, welche $p_2$ beinhaltet, da der Druck konstant bleibt und damit $p_1 = p_2 = p$.

Reversible technische Arbeit (Druckänderungsarbeit)

Die reversible technische Arbeit ergibt sich für die polytrope Zustandsänderung mit

Methode

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$W_t^{rev} = n \cdot W_V$.

Es können die obigen Gleichungen für die Volumenänderungsarbeit $W_V$ übernommen werden. Um daraus die reversible technische Arbeit (Druckänderungsarbeit) zu bestimmen, müssen diese mit $n$ multipliziert werden. 

Die Druckänderungsarbeit lässt sich -wie in den vorherigen Kapiteln bereits gezeigt- im p,V-Diagramm darstellen und stellt die Fläche neben den Polytropen zur p-Achse dar. 

Wärme

Die Wärme berechnet sich bei der polytropen Zustandsänderung aus 

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$.


Aufgelöst nach $Q$ ergibt sich:

$Q = U_2 - U_1 - W_V - W_{diss}$.

Es wird für die Volumenänderungsarbeit $W_V$ die letzte Gleichung 

$W_V = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \frac{\kappa -1}{n-1} (T_2 - T_1)$ eingesetzt:

$Q = U_2 - U_1 - m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \frac{\kappa -1}{n-1} (T_2 - T_1)  - W_{diss}$.


Für die Änderung der inneren Energie wird die Gleichung 

$U_2 - U_1 = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$ eingesetzt:

$Q = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) - m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \frac{\kappa -1}{n-1} (T_2 - T_1)  - W_{diss}$.

Es ergibt sich nach Zusammenfassung der Terme:

$Q = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) (1-\frac{\kappa -1}{n-1}) -  W_{diss}$.

Zusammenfassung von $(1-\frac{\kappa -1}{n-1})$ zu $\frac{n - \kappa}{n-1}$ ergibt:

$Q = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) \frac{n - \kappa}{n-1} -  W_{diss}$.

Für einen irreversiblen Prozess ergibt sich damit für die Wärme:

Methode

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$Q = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) \frac{n - \kappa}{n-1} -  W_{diss}$.


Für einen reversiblen Prozess mit $W_{diss} = 0$ ergibt sich:

Methode

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$Q = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) \frac{n - \kappa}{n-1}$.

Ersetzen von $c_{vm}|_{T_1}^{T_2} = \frac{R_i}{\kappa -1}$ ergibt:

Methode

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$Q = m \; \frac{R_i}{\kappa - 1} (T_2 - T_1) \frac{n - \kappa}{n-1}$.

Entropie

Die Entropieänderung kann aus folgenden Gleichungen bestimmt werden:

Methode

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$S_2 - S_1 = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \frac{n - \kappa}{n - 1} \ln \frac{T_2}{T_1}$

Methode

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$S_2 - S_1 = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} \ln \frac{T_2}{T_1} - m \; R_i \ln \frac{p_2}{p_1}$

Methode

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$S_2 - S_1 = m \; c_{vm}|_{T_1}^{T_2} \ln \frac{T_2}{T_1} + m \; R_i \ln \frac{V_2}{V_1}$.

Die Entropie lässt sich in einem T,S-Diagramm darstellen. Die Entropie kann auch geschrieben werden als

$\int T \; dS = Q + W_{diss}$.

Dabei ist allgemein gesehen die Fläche unter der Kurve (Polytrope) zur $S$-Achse die Summe aus Wärme $Q$ und Dissipationsarbeit $W_{diss}$.

In dem Falle der polytropen Zustandsänderung (wobei die Polytrope mit dem Exponenten $1 < n < \kappa$ betrachtet wird) kann mittels der Isochoren zusätzlich die Änderung der inneren Energie $U_1 - U_2$ dargestellt werden. Diese entspricht der Fläche unter der Isochoren (siehe auch Abschnitt isochore Zustandsänderung). Die gesamte Fläche (Fläche unter der Polytropen + Fläche unter der Isochoren) entspricht der Volumenänderungsarbeit $W_V$.

Polytrope Zustandsänderung mit Isochoren
Polytrope Zustandsänderung mit Isochore (Volumenänderungsarbeit)


Nimmt man statt der Isochoren die Isobare hinzu, so kann zusätzlich die Änderung der Enthalpie $H_1 - H_2$ dargestellt werden. Diese entspricht der Fläche unter der Isobaren (siehe auch Abschnitt isobare Zustandsänderung). Die gesamte Fläche (Fläche unter der Isobaren + Fläche unter der Polytropen) entspricht der technischen reversiblen Arbeit (Druckänderungsarbeit) $W_t^{rev}$.

Polytrope Zustandsänderung mit Isobare
Polytrope Zustandsänderung mit Isobare (Druckänderungsarbeit)