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Thermodynamik

Entropie

Die Entropie $S$ mit der Einheit $\frac{J}{K}$ ist eine extensive Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems. Das bedeutet, dass sie sich bei der Vereinigung zweier oder mehrerer Systeme additiv verhält (wie z.B. das Volumen). Die spezifische Entropie $s$ erhält man durch Division mit der Masse $m$ des Systems. Die spezifische Entropie besitzt die Einheit $\frac{J}{kg \; K}$ und stellt eine intensive Zustandsgröße dar. 1865 führte der deutsche Physiker Rudolf Clausius die Entropie zur Beschreibung von Kreisprozessen ein. 

Die Änderung der Entropie $\triangle S$ eines einfachen Systems kann ausgedrückt werden durch die innere Energie mit:

Methode

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$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dU + p \; dV}{T}$

mit 

$\int dU = \int m \; c_v \; dT$

Und durch die Enthalpie mit:

Methode

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$ S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dH - V \; dp}{T}$

mit

$\int dH = \int m \; c_p \; dT$

Einfache Systeme sind durch zwei Zustandsgrößen eindeutig beschrieben. Beide Gleichungen gelten sowohl für reversible als auch für irreversible Prozesse.

Die Gleichung welche häufig zur Berechnung der Änderung der Entropie angewandt wird ergibt sich mit:

Methode

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$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$

Bei konstanter Temperatur $T = const$ (isotherme Zustandsgleichung) fällt das Integral weg und es ergibt sich:

$S_2 - S_1 = \frac{Q + W_{diss}}{T}$.

Entropieerzeugung und Entropietransport

Die Entropie eines Systems ändert sich, wenn Wärme $Q$ über die Systemgrenzen tritt oder Energie im Inneren des System dissipiert $W_{diss}$. Arbeit die über die Systemgrenzen tritt ändert die Entropie nicht. 

Merke

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Wird dem System Wärme zugeführt, so erhöht sich die Entropie, wird Wärme abgeführt so verringert sich die Entropie. Dissipationsarbeit kann dem System nur zugeführt werden und erhöht damit die Entropie.

Man bezeichnet die transportierte Wärme auch als Entropietransport $S_q$

$S_q = \int_1^2 \frac{dQ}{T}$

und die zugeführte Dissipationsarbeit auch als Entropieerzeugung $S_{diss}$

$S_{diss} = \int_1^2 \frac{dW_{diss}}{T}$

mit

$S_{diss} = 0$         für reversible Prozesse

$S_{diss} > 0$         für irreversible Prozesse

Merke

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Bei allen reversiblen Prozessen ist die Entropieerzeugung $S_{diss}$ gleich Null (keine Energie wird dissipiert). Bei allen irreversiblen Prozessen wird Entropie erzeugt, demnach ist die Entropieerzeugung größer Null.

Adiabate Systeme

Adiabate Systeme lassen keinen Wärmetransport und damit keinen Entropietransport zu. Demnach ist bei adiabaten Systemen $S_q = 0$.

Für reversible Prozesse gilt zudem noch $S_{diss} = 0$, somit bleibt in adiabaten reversiblen Systemen die Entropie konstant, die Entropieänderung ist demnach gleich Null:

$S_2 - S_1 = 0$       für adiabate reversible Systeme

Für irreversible Prozesse gilt $S_{diss} \ge 0$, somit nimmt in adiabaten irreversiblen System die Entropie zu, die Entropieänderung ist demnach größer Null:

$S_2 - S_1 \ge 0$     für adiabate irreversible Prozesse.

T,S-Diagramm

Betrachtet man ein Diagramm mit den Achsen $T$ und $S$, so kann man die Summe aus zugeführter und abgeführter Wärme $Q$ sowie die zugeführte Dissipationsarbeit $W_{diss}$ anhand der Fläche unter der Kurve (Zustandsänderung) $\int_1^2 T \; dS$ darstellen:

Methode

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$\int T \; dS = Q + W_{diss}$

Entropie, T,S-Diagramm
Zustandsänderung

Bei reversiblen Prozessen ist die Fläche unter der Kurve $Q$, da keine Dissipationsarbeit vorhanden ist. Bei adiabaten Systemen ist die Fläche unter der Kurve $W_{diss}$, da kein Wärmetransport stattfindet.

Beispiel 1: Entropie

Beispiel

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Es wird innerhalb eines Stirlingmotors Luft bei einer konstanten Temperatur von 50°C komprimiert. Dabei wird dem System Dissipationsarbeit von 100 Joule zugeführt sowie Wärme von 350 Joule abgeführt. Wie ändert sich die Entropie?

Es wird folgende Formel herangezogen:

$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$.

Es werden die Werte mit den richtigen Einheiten eingesetzt und dann die Entropieänderung bestimmt:

$S_2 - S_1 = \frac{1}{T} (\int_1^2 dQ + \int_1^2 dW_{diss})$

Da $T$ konstant ist gilt:

$S_2 - S_1 = \frac{1}{T} (Q + W) = \frac{1}{(50 + 273,15) K} \cdot (-350 J + 100 J)$

$S_2 - S_1 = -0,774 J/K$

Die Entropie nimmt also um 0,774 J/K ab.

Beispiel 2: Entropie

Beispiel

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Gegeben sei ein adiabater Verdichter, in welchem Luft verdichtet wird. Die Temperatur steigt von 20°C auf 250°C. Der Entropiestrom nimmt dabei um 0,95 W/K zu.

Wie sieht das dazugehörige T,S-Diagramm aus? Welche Fläche stellt die dissipierte Leistung dar?

Handelt es sich um ein adiabates System so gilt:

$\dot{S_2} - \dot{S_1} \ge 0$.

In diesem Beispiel ist der Entropiestrom:

$\dot{S_2} - \dot{S_1} =  0,95 W/K$

und

$T_1 = 20 + 273,15 = 293,15 K$

$T_2 = 250 + 273,15 K = 523,15 K$.

Es sind alle Werte gegeben um die Zustandsänderung einzuzeichnen und damit die Fläche zu bestimmen:

Entropie Beispiel
Beispiel: Dissipierte Leistung

Es fällt kein Wärmestrom $\dot{Q}$ an, da in adiabaten Systemen keine Wärme übertragen werden kann. Es fällt also lediglich Dissipationsarbeit $W_{diss}$ und in diesem Beispiel dissipierte Leistung $P_{diss}$ an. Die gesamte Fläche unter der Zustandsänderung ist demnach die dissipierte Leistung.