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Thermodynamik - Exergie und Anergie: Geschlossenes System

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Thermodynamik

Exergie und Anergie: Geschlossenes System

Um die Exergie eines geschlossenen System $E_G$, welches sich im Zustand 1 befindet, berechnen zu können, wird ein Prozess betrachtet bei dem das System reversibel mit seiner Umgebung ins thermische und ins mechanische Gleichgewicht gebracht wird.

Merke

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Gleichgewicht liegt vor, wenn die Temperatur des Systems im Endzustand (2) gleich der Temperatur der Umgebung ist $T_2 = T_b$ und der Druck des Systems im Endzustand (2) gleich dem Druck der Umgebung ist $p_2 = p_b$.

Unter Vernachlässigung der kinetischen und potentiellen Energien des Systems gilt für die innere Energie des Systems bei einem reversiblen Prozess ($W_{diss} = 0$):

Methode

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$U_2 - U_1 = Q + W_V$.                                Innere Energie (reversibel)

Damit der Prozess, wie gefordert, reversibel abläuft, muss

  1. das System zunächst reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur $T_b$ gebracht werden (isentrope Zustandsänderung)

    und dann

  2. Wärme reversibel bei konstanter Temperatur $T_b$ übertragen werden (isotherme Zustandsänderung).

Zu 1.) System reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur bringen

Die obige Gleichung für die innere Energie wird bei einem reversiblen ($W_{diss} = 0$), adiabaten ($Q = 0$) Prozess zu:

$U_2 - U_1 = W_V$.

Da hier davon ausgegangen wird, dass der Druck der Umgebung $p_b$ nicht mit dem Druck innerhalb des Systems übereinstimmt, gliedert sich die Volumenänderungsarbeit in einen Nutzanteil $W_N$ und einen Verschiebeanteil $W_U$ (siehe Abschnitt Nutzarbeit/Verschiebearbeit):

$W_V = W_N + W_U$

mit

$W_V = -\int_1^2 p \; dV$

$W_U = -p_b(V_2 - V_1)$.

Die Exergie des geschlossenen Systems bzw. die Exergie der inneren Energie $E_G$ ist dabei gleich der unter Mitwirkung der Umgebung maximal (d.h. in einem reversiblen Prozess) gewinnbaren Nutzarbeit $W_N$, wobei der Prozess zwischen einem willkürlichen Zustand 1 und Umgebungszustand (Index b) stattfindet.

Methode

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$W_N = -E_G$.

Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt:  $W_V = -E_G + W_U$.

Methode

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$W_V = -E_G - p_b(V_2 - V_1)$

Zu 2.) Wärme reversibel bei konstanter Temperatur übertragen

Die Wärme $Q$ findet sich in der folgenden Gleichung für die Entropie $S$:

$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{Q + W_{diss}}{T}$.

Bei einem reversiblen Prozess ($W_{diss} = 0$) mit konstanter Temperatur $T_b$ (Integral fällt weg) gilt:

$S_2 - S_1 = \frac{Q}{T_b}$.

Aufgelöst nach $Q$ ergibt sich:

Methode

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$Q = T_b(S_2 - S_1)$

Zusammenfassung

Einsetzen von $W_V$ und $Q$ in die Gleichung für die innere Energie bei reversiblem Prozess:

$U_2 - U_1 = T_b(S_2 - S_1) - E_G - p_b(V_2 - V_1)$.

Die Indizes sind nun so aber noch nicht korrekt. Wir schauen uns nun folgendes T,S-Diagramm an, in welchem verdeutlicht wird was genau passiert:

Exergie der inneren Energie
Exergie der inneren Energie

Bei der isentropen Zustandsänderung (um die Temperatur $T_1$ auf Umgebungstemperatur $T_b$ zu bringen), ist die Entropie $S$ konstant und demnach $S_2 = S_1$. Dafür ist aber bei der isothermen Zustandsänderung (um den Druck $p_1$ auf Umgebungsdruck $p_b$ zu bringen) die Entropiedifferenz vorhanden mit $S_b - S_2$. Daraus folgt für $S_2 = S_1 \rightarrow  S_b - S_1$.

Bei der isentropen Zustandsänderung ändert sich die innere Energie und damit $U_2 - U_1$. Bei der isothermen Zustandsänderung hingegen ändert sich die innere Energie nicht (da abhängig von der Temperatur und diese konstant ist). Das bedeutet $U_2 = U_b$. Es gilt also: $U_b - U_1$. 

Der Term $p_b(V_2 - V_1)$ ist die Nutzarbeit. Es muss hier nicht nur die Volumenänderung von Zustand 1 nach Zustand 2 betrachtet werden, sondern die gesamte Volumenänderung von Zustand 1 nach Zustand b:  $p_b(V_b - V_1)$.

Insgesamt ergibt sich also folgende Gleichung:

$U_b - U_1 = T_b(S_b - S_1) - E_{G1} - p_b(V_b - V_1)$.

Die Exergie des geschlossenen Systems oder auch Exergie der inneren Energie ist dann:

Methode

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Exergie der inneren Energie

$E_{G1} = U_1 - U_b + T_b(S_b - S_1) - p_b(V_b - V_1)$. 


Die Exergie kann man im p,V-Diagramm darstellen:

Exergie der inneren Energie
Exergie der inneren Energie

Die Fläche unter der Isentropen stellt die innere Energie $U_1 - U_b$ dar. Die Fläche unter der Isothermen den Term $T_b(S_b - S_1)$ und die Fläche unter dem Umgebungsdruck $p_b$ den Term $p_b(V_b - V_1)$. Da dieser von den anderen beiden Termen abgezogen wird, ist die Fläche für die Exergie wie folgt:

Exergie der inneren Energie Fläche
Exergie der inneren Energie [Fläche]

Anergie der inneren Energie

Um nun die Anergie des geschlossenen Systems oder auch Anergie der inneren Energie $B_{G}$ zu bestimmen, muss die Exergie der inneren Energie $E_{G1}$ von der inneren Energie $U_1$ abgezogen werden:

$B_{G1} = U_1 - E_{G1}$.

Man stellt also die Gleichung für die Exergie der inneren Energie nach $U_1 - E_{G1}$ um und setzt diese gleich $B_{G1}$:

Methode

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Anergie der inneren Energie

$B_{G1} = U_1 - E_{G1} =  U_b - T_b(S_b - S_1) + p_b(V_b - V_1)$ 

Die obigen zwei Gleichungen (Exergie und Anergie der inneren Energie) stellen die Exergie bzw. Anergie dar, welche anfällt, wenn das System von Zustand 1 (über Zustand 2) auf den Umgebungszustand $b$ gebracht wird. Dies ist also der direkte Weg von $1 \to b$.

Exergiedifferenz zwischen zwei Zuständen

Soll nun die Exergie bestimmt werden, welche zwischen den zwei Zuständen 1 und 2 anfällt, so gilt:

$E_{G2} - E_{G1}$.

Methode

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$E_{G2} = U_2 - U_b + T_b(S_b - S_2) - p_b(V_b - V_2)$. 


Zwischen den zwei Zuständen 1 und 2 besteht dann eine Exergiedifferenz von:

Methode

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$E_{G2} - E_{G1} = U_2 - U_1 + T_b(S_1 - S_2) - p_b(V_1 - V_2)$