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Thermodynamik - Exergie und Anergie: Offenes System

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Thermodynamik

Exergie und Anergie: Offenes System

In diesem Abschnitt wird die Exergie $E_O$ und die Anergie $B_O$ für ein offenes System mit stationärem Fließprozess betrachtet. Unter Vernachlässigung der kinetischen und der potentiellen Energien ergibt sich nach dem 1. Hauptsatz die Enthalpie:

$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev} + W_{diss}$.

Da hier wieder von einem reversiblen Prozess ausgegangen wird ergibt sich:

Methode

$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev}$.

Auch in diesem Fall soll das offene System mit der Umgebung ins Gleichgewicht gebracht werden. Dies geschieht wieder wie folgt:

  1. das System wird zunächst reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur $T_b$ gebracht (isentrope Zustandsänderung) 

    und dann

  2. wird Wärme reversibel bei konstanter Temperatur $T_b$ übertragen (isotherme Zustandsänderung).

Zu 1.) System reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur bringen

Die obige Gleichung für die Enthalpie wird bei einem reversiblen ($W_{diss} = 0$), adiabaten ($Q = 0$) Prozess zu:

$H_2 - H_1 = W_t^{rev}$.

Die reversible technische Arbeit ist diejenige Arbeit, die das strömende Fluid höchstens verrichten kann, wenn es aus dem Zustand 1 mit der Umgebung ins Gleichgewicht gebracht werden soll. Demnach ist:

Methode

$E_O = - W_t^{rev}$.

Zu 2.) Wärme reversibel bei konstanter Temperatur übertragen

Die Wärme $Q$ findet sich in der folgenden Gleichung für die Entropie $S$:

$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{Q + W_{diss}}{T}$.

Bei einem reversiblen Prozess ($W_{diss} = 0$) mit konstanter Temperatur $T_b$ (Integral fällt weg) gilt:

$S_2 - S_1 = \frac{Q}{T_b}$.

Aufgelöst nach $Q$ ergibt sich:

Methode

$Q = T_b(S_2 - S_1)$

Zusammenfassung

Einsetzen von $E_1$ und $Q$ in die Gleichung für die Enthalpie bei reversiblem Prozess:

$H_2 - H_1 = T_b(S_2 - S_1) - E_O$

Die Indizes sind nun so aber noch nicht korrekt. Wir schauen uns nun folgendes T,S-Diagramm an, in welchem verdeutlicht wird was genau passiert:

Exergie eines strömenden Fluids
Exergie eines strömenden Fluids

Bei der isentropen Zustandsänderung (um die Temperatur $T_1$ auf Umgebungstemperatur $T_b$ zu bringen), ist die Entropie $S$ konstant und demnach $S_2 = S_1$. Dafür ist aber bei der isothermen Zustandsänderung (um den Druck $p_1$ auf Umgebungsdruck $p_b$ zu bringen) die Entropiedifferenz vorhanden mit $S_b - S_2$. Daraus folgt für $S_2 = S_1 \rightarrow  S_b - S_1$.

Bei der isentropen Zustandsänderung ändert sich die Enthalpie und damit $H_2 - H_1$. Bei der isothermen Zustandsänderung hingegen ändert sich die Enthalpie nicht (da abhängig von der Temperatur und diese konstant ist). Das bedeutet $H_2 = H_b$. Es gilt also: $H_b - H_1$. 

Insgesamt ergibt sich also folgende Gleichung:

$H_b - H_1 = T_b(S_b - S_1) - E_O$.

Die Exergie der Enthalpie ist damit:

Methode

$E_{O1} = H_1 - H_b + T_b(S_b - S_1)$.

Die Exergie kann man im p,V-Diagramm darstellen:

Exergie offenes System p,V-Diagramm

Die Fläche unter der Isentropen stellt die Enthalpiedifferenz $H_1 - H_b$ dar und die Fläche unter der Isothermen den Term $T_b(S_b - S_1)$. Die gesamte Fläche ist dann die Exergie der Enthalpie.

Die obige Formel stellt die Exergie der Enthalpie dar (ohne potentielle und kinetische Energien). Bei Berücksichtigung von potentieller und kinetischer Energie wird dieser zur Exergie eines strömenden Fluids:

Methode

$E_{O1}^+ = H_1 - H_b + T_b(S_b - S_1) + \frac{m}{2} c_1^2 + m \; g \; z_1$


Die Anergie der Enthalpie $B_{O1}$ wird berechnet indem die Exergie $E_{O1}$ von der Enthalpie $H_1$ abgezogen wird:

Methode

$B_{O1} = B_{O1}^+ = H_1 - E_{O1} = H_b - T_b(S_b - S_1)$

Bei der Anergie gilt die obige Formel sowohl mit, als auch ohne Berücksichtigung der kinetischen und potentiellen Energien. Das bedeutet also, dass die Anergie der Enthalpie $B_{O1}$ gleich der Anergie eines strömenden Fluids $B_{O1}^+$ entspricht. Grund dafür ist, dass diese Energien vollständig in Arbeit umgewandelt werden können und damit keine Anergie sind, sondern nur Exergie.

Exergiedifferenz der Enthalpie 

Soll nun die Exergie der Enthalpie bestimmt werden, welche zwischen den zwei Zuständen 1 und 2 anfällt, so gilt:

$E_{O2} - E_{O1}$.

Methode

$E_{O2} = H_2 - H_b + T_b(S_b - S_2)$. 


Zwischen den zwei Zuständen 1 und 2 besteht dann eine Exergiedifferenz der Enthalpie von:

Methode

$E_{O2} - E_{O1} = H_2 - H_1 + T_b(S_1 - S_2)$