ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Thermodynamik
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
2. Hauptsatz der Thermodynamik > Kreisprozesse > Carnot-Prozess:

Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit

WebinarTerminankündigung:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die Nutzarbeit des Carnot-Prozesses auch aus der Summe der technischen reversiblen Arbeiten ermittelt werden kann. Die ausführliche Beschreibung des Carnot-Prozesses ist dem vorherigen Abschnitt zu entnehmen, in welchem auch gezeigt wurde, wie die Nutzarbeit aus der negativen Summe der Wärme bestimmt wird. In diesem Abschnitt soll die Bestimmung der Nutzarbeit nun aus der Summe der zugeführten und abgeführten technischen reversiblen Arbeit erfolgen. Am Ende wird gezeigt, dass beide Vorgehensweise zum selben Ergebnis führen. Es reicht also sich für eine zu entscheiden. 

Carnot-Prozess p,V-Diagramm
Carnot-Prozess - p,V-Diagramm
Carnot-Prozess Arbeit T-S-Diagramm
Zugeführte und abgegebene Arbeit im Carnot-Prozess

Isotherme Kompression (reibungsfrei)

Zustandsänderung ($1 \to 2$): 

Bei der isothermen Zustandsänderung ist: $T_1 = T_2 = T_I$

Die thermischen Zustandsgleichungen sind:

$p_1V_1 = m \; R_i \; T_I$

$p_2V_2 = m \; R_i \; T_I$


Die technische reversible Arbeit ist:

$W_t^{rev} = \int_1^2 V \; dp$.

Man kann die thermische Zustandsgleichung, aufgelöst nach $V_1$ bzw. $V_2$, in die technische reversible Arbeit $W_{t12}^{rev}$ einsetzen. Da in dieser Gleichung $T_I$ konstant ist ($m$ und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:

Methode

$ W_{t12}^{rev} = m \; R_i \; T_I \; \ln \frac{p_2}{p_1}$.

bzw. nach Boyle und Mariotte

Methode

 $W_{V12} =  m \; R_i \; T_I \; \ln \frac{V_1}{V_2}$.

Das ist die Arbeit die dem System zugeführt wird. Da bei der isothermen Kompression $V_1 > V_2$ bzw. $p_2 > p_1$ ist, werden beide Terme positiv. Diese Arbeit wird dem System also zugeführt.

Eine ausführliche Herleitung für die obigen Rechnungen ist dem Abschnitt Isotherme Zustandsänderung zu entnehmen.

Isentrope Kompression 

Zustandsänderung ($2 \to 3$):

Die Temperatur ist für den Zustand 2: $T_2 = T_I$

Die Temperatur ist für den Zustands 3: $T_3 = T_{II}$.

Da bei der isentropen Zustandsänderung die Änderung der Enthalpie gleich der technischen reversible Arbeit ist und die Änderung der Enthalpie auch kalorisch mit dem Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität $c_{pm}$ ausgedrückt werden kann, ergibt sich:

$H_3 - H_2 = W_{t23}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$.

Methode

$W_{t23}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_I}^{T_{II}} (T_{II} - T_I)$.

Das ist die Arbeit die dem System zugeführt wird. Da bei der isentropen Kompression $T_{II} > T_I$ ist, wird der Term positiv. Diese Arbeit wird dem System also zugeführt.

Dies stellt eine Gleichung zur Berechnung der reversiblen technischen Arbeit dar. Es existieren noch weitere Gleichungen die dem Abschnitt Isentrope Zustandsänderung zu entnehmen sind.

Isotherme Expansion

Zustandsänderung ($3 \to 4$): 

Bei der isothermen Zustandsänderung ist: $T_3 = T_4 = T_{II}$

Die thermischen Zustandsgleichungen sind:

$p_3V_3 = m \; R_i \; T_{II}$

$p_4V_4 = m \; R_i \; T_{II}$


Die technische reversible Arbeit ist:

$W_{t34} = -\int_3^4 V \; dp$.

Man kann die thermische Zustandsgleichung, aufgelöst nach $V_3$ bzw. $V_4$, in die technische reversible Arbeit $W_{t34}^{rev}$ einsetzen. Da in dieser Gleichung $T_{II}$ konstant ist ($m$ und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:

Methode

$ W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln \frac{p_4}{p_3}$.

bzw. nach Boyle und Mariotte

Methode

$ W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln \frac{V_3}{V_4}$.

Das ist die Arbeit die von dem System abgegeben wird. Da bei der isothermen Expansion $V_4 > V_3$ bzw. $p_3 > p_4$ werden beide Terme negativ. Diese Arbeit wird dem System also abgeführt.

Isentrope Expansion

Zustandsänderung ($4 \to 1$): 

Die Temperatur ist für den Zustand 4: $T_4 = T_{II}$

Die Temperatur ist für den Zustands 1: $T_1 = T_{I}$.

Da bei der isentropen Zustandsänderung die Änderung der Enthalpie gleich der technischen reversiblen Arbeit ist und die Änderung der Enthalpie auch kalorisch mit dem Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität $c_{pm}$ ausgedrückt werden kann, ergibt sich:

$H_1 - H_4 = W_{t41}^{rev} = m \cdot c_{pm}|_{T_4}^{T_1} \; (T_1 - T_4)$.

Methode

$W_{t41}^{rev} = m \cdot c_{pm}|_{T_{II}}^{T_I} \; (T_I - T_{II})$.

Das ist die Arbeit die von dem System abgeführt wird. Da $T_{II} > T_I$ ist, wird der Term negativ. Diese Arbeit wird dem System also abgeführt.

Arbeit des Carnot-Prozesses

Die Arbeit $W_C$ des Carnot-Prozesses ist die Summe aus den oben angegebenen Arbeiten:

Methode

$W_C = \sum W_t^{rev}$

$W_C = W_{t12}^{rev} + W_{t23}^{rev} + W_{t34}^{rev} + W_{t41}^{rev}$.

$W_C = m \; R_i \; T_{I} \; \ln (\frac{p_2}{p_1}) + m \cdot c_{pm}|_{T_I}^{T_{II}} \; (T_{II} - T_I)$

$\; \; \; \; \; \; + m \; R_i \; T_{II} \; \ln (\frac{p_4}{p_3}) + m \cdot c_{pm}|_{T_{II}}^{T_I} \; (T_I - T_{II})$.


Aus der obigen Gleichung fallen die Terme $m \cdot c_{pm}|_{T_I}^{T_{II}} \; (T_{II} - T_I)$ und $m \cdot c_{pm}|_{T_{II}}^{T_I} \; (T_I - T_{II})$ heraus (heben sich gegenseitig auf).


Es bleibt:

$W_C = m \; R_i \; T_{I} \; \ln (\frac{p_2}{p_1}) + m \; R_i \; T_{II} \; \ln (\frac{p_4}{p_3})$

Mittels der Isentropengleichung $\frac{T_I}{T_{II}} = (\frac{p_1}{p_4})^{\frac{k-1}{k}} =  (\frac{p_2}{p_3})^{\frac{k-1}{k}} $ kann dann das Druckverhältnis $\frac{p_4}{p_3}$ umgeschrieben werden und es resultiert:

Methode

$W_C = m \; R_i \; (T_I - T_{II}) \ln (\frac{p_2}{p_1})$

Gut zu wissen

Zusatzinfo: Isentropengleichung so umstellen, dass die obige Gleichung resultiert:

Zunächst einmal gilt der Zusammenhang (Abschnitt: Isentrope Zustandsänderung):

$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{k-1}{k}}$.

Es herrschen hier für die 4 Zustände zwei Temperaturen:

$T_I = T_1 = T_2$

$T_{II} = T_3 = T_4$.

Das bedeutet:

$\frac{T_I}{T_{II}} = (\frac{p_1}{p_4})^{\frac{k-1}{k}} = (\frac{p_2}{p_3})^{\frac{k-1}{k}}$.

Man muss diesen Zusammenhang so wählen, dass zwei Zustände aufeinander folgen, also $p_1$/$p_4$ sowie $p_2$/$p_3$. Es wäre nicht richtig $p_1$/$p_3$, obwohl dort ebenfalls gilt $T_I$/$T_{II}$.

Betrachtung zunächst von: 

$\frac{T_I}{T_{II}} = (\frac{p_1}{p_4})^{\frac{k-1}{k}} $


Umstellen nach $\ln (p_4)$, durch Anwendung von $\ln$:

$\ln \frac{T_I}{T_{II}} = \frac{k-1}{k} \ln (\frac{p_1}{p_4}) $

$\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} = \ln (\frac{p_1}{p_4}) $

$\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} = \ln (p_1) - \ln(p_4) $

$\ln (p_4) = -\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) $


Einsetzen in den Term

$m \; R_i \; T_{II} \; \ln \frac{p_4}{p_3}$

von der Nutzarbeit $W_C$.


Zunächst aber umschreiben:

$m \; R_i \; T_{II} \; \ln (p_4) - \ln (p_3)$

$m \; R_i \; T_{II} \; [-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) - \ln(p_3)]$


Das gleiche Vorgehen für

$\frac{T_I}{T_{II}} = (\frac{p_2}{p_3})^{\frac{k-1}{k}}$

ergibt:

$\ln (p_3) = -\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_2) $


Ebenfalls einsetzen in obige Gleichung ergibt:

$m \; R_i \; T_{II} \; [-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) - \ln(p_3)]$

$m \; R_i \; T_{II} \; [-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) - (-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_2))]$

$m \; R_i \; T_{II} \; [-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) + \frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} - \ln (p_2)]$

$m \; R_i \; T_{II} \; [\ln (p_1) - \ln (p_2)] $

$- m \; R_i \; T_{II} \; [\ln (p_2) - \ln (p_1)] $.

$- m \; R_i \; T_{II} \; \ln (\frac{p_2}{p_1}) $.


Der obige Term kann nun mit dem Folgenden Term aus der Gleichung der Nutzarbeit $W_C$ zusammengefasst werden:

$m \; R_i \; T_{I} \; \ln (\frac{p_2}{p_1})$.


Es ergibt sich:

$m \; R_i \; (T_{I} - T_{II}) \ln (\frac{p_2}{p_1})$.

Man sieht ganz deutlich, dass die aus der Arbeit hergeleitete Nutzarbeit der aus der Wärme hergeleiteten Nutzarbeit entspricht. Es ist häufig sinnvoller die Nutzarbeit aus der Wärme herzuleiten, da hier die Herleitung um einiges kürzes ausfällt (siehe vorheriges Kapitel).

Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses

Wir Wirkungsgrad ist - wie bereits im vorherigen Abschnitt beschrieben - der Quotient aus Nutzarbeit $W_C$ und zugeführter Wärme $Q_{34}$. Je größer der Wirkungsgrad desto mehr zugeführte Wärme kann in Arbeit umgewandelt werden. Es handelt sich bei dieser Betrachtung um einen rechtslaufenden Kreisprozess, d.h. die zugeführte Wärme $Q_{34}$ ist größer als die abgeführte Wärme $Q_{12}$ und die abgegebene Arbeit $W_{V34} + W_{V41}$ ist größer als die zugeführte Arbeit $W_{V12} + W_{V23}$.

Methode

$\eta_C = \frac{|W_C|}{Q_{34}}$ 

bzw.

Methode

$\eta_C = \frac{T_{II} - T_I}{T_{II}} = \eta_C = 1 - \frac{T_I}{T_{II}} $

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Thermodynamik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses ThermodynamikThermodynamik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Thermodynamik

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Einführung in die Thermodynamik
    • Einleitung zu Kurs: Einführung in die Thermodynamik
  • Grundlagen der Thermodynamik
    • Einleitung zu Grundlagen der Thermodynamik
    • Thermodynamisches System
      • Einleitung zu Thermodynamisches System
      • Thermodynamische Zustandsgrößen
        • Einleitung zu Thermodynamische Zustandsgrößen
        • Extensive und intensive Zustandsgrößen
        • Spezifische und molare Zustandsgrößen
      • Zustandsänderung
    • Thermische Zustandsgrößen
      • Einleitung zu Thermische Zustandsgrößen
      • Volumen
      • Druck
      • Temperatur
    • Thermische Zustandsgleichungen
      • Einleitung zu Thermische Zustandsgleichungen
      • Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
      • Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    • Thermische Ausdehnung
  • 1. Hauptsatz der Thermodynamik
    • 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme
      • Energieerhaltungssatz, Systemenergie
      • Innere Energie, Wärme und Arbeit
        • Einleitung zu Innere Energie, Wärme und Arbeit
        • Arbeit am geschlossenen System
          • Einleitung zu Arbeit am geschlossenen System
          • Volumenänderungsarbeit
          • Nutzarbeit / Verschiebearbeit
          • Dissipationsarbeit
        • Wärme
      • Zusammenfassung für geschlossene Systeme
    • 1. Hauptsatz der Thermodynamik für offene Systeme
      • Stationärer Fließprozess
        • Einleitung zu Stationärer Fließprozess
        • Innere Energie, technische Arbeit, Verschiebearbeit
          • Einleitung zu Innere Energie, technische Arbeit, Verschiebearbeit
          • Verschiebearbeit
          • Technische Arbeit
        • Enthalpie
        • Kinetische und potentielle Energie
        • Massenstrom
        • Anwendungsbeispiele offenes System mit stationärem Fließprozess
    • Kalorische Zustandsgleichungen
      • Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (homogenes System)
      • Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (ideales Gas)
      • Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität
      • Isentropenexponent
  • 2. Hauptsatz der Thermodynamik
    • Einleitung zu 2. Hauptsatz der Thermodynamik
    • Entropie
    • Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases
      • Einleitung zu Einfache Zustandsänderungen des idealen Gases
      • Isochore Zustandsänderung
        • Einleitung zu Isochore Zustandsänderung
        • Anwendungsbeispiele: Isochore Zustandsänderung
      • Isobare Zustandsänderung
      • Isotherme Zustandsänderung
      • Isentrope Zustandsänderung
        • Einleitung zu Isentrope Zustandsänderung
        • Anwendungsbeispiel: Molmasse, Isentropenexponent, Wärmekapazität
      • Polytrope Zustandsänderung
      • Adiabate Zustandsänderung
    • Kreisprozesse
      • Einleitung zu Kreisprozesse
      • Rechtslaufender Kreisprozess
        • Einleitung zu Rechtslaufender Kreisprozess
        • Wärmekraftmaschine
      • Linkslaufender Kreisprozess
        • Einleitung zu Linkslaufender Kreisprozess
        • Wärmepumpe und Kältemaschine
      • Carnot-Prozess
        • Beschreibung des Carnot-Prozesses
        • Nutzarbeit des Carnot-Prozesses aus der Arbeit
        • Erkenntnisse aus dem Carnot-Prozess
    • Exergie und Anergie
      • Einleitung zu Exergie und Anergie
      • Exergie und Anergie: Geschlossenes System
      • Exergie und Anergie: Offenes System
      • Exergie und Anergie: Wärme
      • Exergieverlust
      • Exergetischer Wirkungsgrad
  • Kreisprozesse
    • Kreisprozesse der Gasturbinenanlagen
      • Einleitung zu Kreisprozesse der Gasturbinenanlagen
      • Joule-Prozess
      • Ericsson-Prozess
    • Stirling-Prozess
    • Kreisprozesse der Verbrennungsmotoren
      • Einleitung zu Kreisprozesse der Verbrennungsmotoren
      • Otto-Prozess (Gleichraumprozess)
      • Diesel-Prozess (Gleichdruckprozess)
  • 67
  • 13
  • 159
  • 72
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 23.07.2016:
    "Es wird sehr viel Wissen vermittelt, welches kompakt gehalten, jedoch trotzdem verständlich gelehrt wird. Zusammenhänge werden gut erklärt und das Wichtigste wird noch einmal Hervorgehoben. Alles in Allem bin ich sehr zufrieden. Leider bin ich etwas spät auf diesen Onlinekurs gestoßen. "

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 28.02.2016:
    "gut nachvollziehbar"

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 27.01.2016:
    "Gute Rechenaufgaben zum selber nachrechnen, Lösung ausführlich und verständlich, gute Videos"

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 12.10.2015:
    "Gut gut läuft :D"

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 09.08.2015:
    "sehr ausführlich und einfach verständlich beschrieben"

  • Gute Bewertung für Thermodynamik

    Ein Kursnutzer am 20.05.2015:
    "Super Kurs, alles total verständlich erklärt!!"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen