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Thermodynamik - Beschreibung des Carnot-Prozesses

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Thermodynamik

Beschreibung des Carnot-Prozesses

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Bei dem Carnot-Prozess handelt es sich um ein Gedankenexperiment, welches Anfang des 19. Jahrhunderts von Nicolas Léonard Sadi Carnot vorgeschlagen wurde. Der Carnot-Prozess besteht aus zwei isothermen und zwei isentropen Zustandsänderungen, welche im T,S-Diagramm ein Rechteck bilden.

Vorgehensweise des Carnot-Prozesses (T,S-Diagramm)

Um sich den Carnot-Prozess vorstellen zu können, wird im Folgenden das T,S-Diagramm herangezogen. Es wird ein geschlossenes System betrachtet, welches aus vier offenen Systemen besteht. Innerhalb des Systems befindet sich ein Gas. Die Beschreibung des Carnot Prozesses erfolgt nach dem rechtslaufenden Kreisprozess.

Carnot Prozess zugeführte und abgeführte Wärme TS-Diagramm
Carnot Prozess

Es wird zusätzlich zum T,S-Diagramm noch das p,V-Diagramm herangezogen, um zu zeigen wie sich Volumen und Druck verändern:

Carnot-Prozess p,V-Diagramm
Carnot-Prozess - p,V-Diagramm


Zustandsänderung (
$1 \to 2$): Isotherme Kompression (reibungsfrei)

Begonnen wird damit, dass im Zustand 1 das Gas innerhalb des Systems Kontakt mit einem Kältereservoir besitzt. Dieses Kältereservoir hat eine konstante Temperatur $T_I$. Der Kolben wird mittels mechanischer Arbeit zusammengedrückt, es muss also Arbeit zugeführt werden (die Betrachtung der zugeführten und abgeführten Arbeit erfolgt im nächsten Abschnitt). Das Volumen des Systems wird also verringert und damit das Gas komprimiert. Daraus folgt, dass sich der Druck innerhalb des Kolbens erhöht und die Temperatur ansteigt. Da hier eine isotherme Kompression stattfindet, soll die Temperatur konstant gehalten werden. Dies wird mithilfe des Kältereservoirs erreicht, welches dem System die Wärme entzieht. Die Wärmemenge $Q_{12}$ die abgeführt werden muss ergibt sich zu:

Methode

$Q_{12} = -W_V = \int_1^2 p \; dV$.

$Q_{12} = -W_t^{rev} = -\int_1^2 V \; dp$.

$Q_{12} = T_I \cdot (S_1 - S_2)$

Der resultierende Wert der Wärmemenge wird negativ, d.h. Wärme wird aus dem System abgeführt.

(Die Formeln sind dem Kapitel isotherme Zustandsänderung zu entnehmen. Bei der zweiten Formel entfällt allerdings das $W_{diss}$ da hier von einem reibungsfreien Prozess ausgegangen wird und damit keine Dissipationsarbeit anfällt).

Wichtig

Zum besseren Verständnis wird die Berechnung der Wärmemenge mittels Entropie für den Zustand 1-2 aufgeführt:

$\int T \; dS = Q + W_{diss}$

Es handelt sich um einen reversiblen Prozess, weshalb $W_{diss}$ nicht berücksichtigt wird:

$Q = \int T\; dS$

Die Temperatur ist für Zustand 1-2 konstant bei $T_I$:

$Q = \int T_I \; dS$

Integrieren:

$Q = T_I \; \int_{S_2}^{S_1} dS$

Die Integration findet von Zustand 1 (hier ist $S_2$ gegeben) zum Zustand 2 (hier ist $S_1$ gegeben) statt.

$Q = T_I \; (S_1 - S_2)$

Zustandsänderung ($2 \to 3$): Isentrope Kompression (adiabat und reibungsfrei)

Das System wird nun von dem Kältereservoir getrennt. Mittels mechanischer Arbeit wird nun der Kolben weiter zusammengedrückt, d.h. Arbeit wird dem System zugeführt. Daraus folgt, dass das Volumen des Systems kleiner wird und damit das Gas weiter komprimiert wird. Der Druck und auch die Temperatur steigen an. Da das Kältereservoir nicht mehr vorhanden ist, steigt die Temperatur auf $T_{II}$ (System ist adiabat, d.h. Wärme kann nicht aus dem System entweichen). 

Methode

$Q_{23} = 0$.

Bei der isentropen Zustandsänderung ändert sich die Entropie ($S_2 - S_1 = 0$) nicht, d.h. Wärme $Q$ und Dissipationsarbeit $W_{diss}$ sind gleich 0. Dies ist bei einem reibungsfreien und adiabaten System gegeben.


Zustandsänderung (
$3 \to 4$): Isotherme Expansion

In einem weiteren Schritt wird das System nun mit einem Wärmereservoir in Kontakt gebracht. Das Wärmereservoir besitzt eine konstante Temperatur $T_{II}$, welche genau der Temperatur des Gases/des Systems zu diesem Zeitpunkt entspricht. Der vorher zusammengedrückte Kolben wird nun "losgelassen" und das Volumen dehnt sich aus, das Gas hat nun wieder mehr Raum und dadurch sinkt der Druck innerhalb des Systems. Das bedeutet auch, dass Arbeit von dem System an die Kolbenstange abgegeben wird (Arbeit wird abgeführt). Die Temperatur hingegen sinkt nicht, da das Wärmereservoir dafür sorgt, dass die Temperatur des Gases durch die Wärmezufuhr konstant bleibt. Die Wärmemengen ergeben sich zu:

Methode

$Q_{34} = -W_V = \int_3^4 p \; dV$.

$Q_{34} = -W_t^{rev} = -\int_3^4 V \; dp$.

$Q_{34} = T_{II} (S_2 - S_1) $

Der resultierende Wert der Wärmemenge wird positiv, d.h. Wärme wird dem System zugeführt.

Zustandsänderung ($4 \to 1$): Isentrope Expansion

Das System wird von dem Wärmereservoir getrennt. Der Kolben ist aber immer noch dabei zu expandieren. Das bedeutet eine Volumenvergrößerung und eine Verringerung des Drucks. Auch die Temperatur verringert sich nun, da das Wärmereservoir nicht mehr angeschlossen ist. Der Kolben drückt sich solange zurück, bis das System wieder seinen Anfangszustand 1 ($T_I,\; p_1 \; V_1$) erreicht hat. Da das System adiabat ist, kann keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht werden:

Methode

$Q_{41} = 0$.

Die Nutzarbeit des Carnot-Prozesses

Die nutzbare Arbeit $W_C$ errechnet sich durch die Zustände, in denen Wärme zugeführt bzw. abgegeben wird. Das sind die isothermen Zustandsänderungen. Die Nutzarbeit stellt die Summe aus zugeführter und abgeführter Arbeit dar:

Methode

$W_C = \sum W_V = \sum W_t^{rev}$.                Nutzarbeit allgemein


Oder die Nutzarbeit stellt die negative Summe aus zugeführter und abgeführter Wärme dar:

Methode

$W_C = - \sum Q$.                        Nutzarbeit allgemein


Für den Carnot-Prozess gilt:

$W_C = - (Q_{12} + Q_{34})$.

Einsetzen von  $Q_{12} = T_I \cdot (S_1 - S_2)$ und $Q_{34} = T_{II} (S_2 - S_1)$:

$W_C = -(T_I \cdot (S_2 - S_1) + T_{II} (S_1 - S_2))$ 

Methode

$W_C = T_I \cdot (S_2 - S_1) + T_{II} (S_1 - S_2)$    Nutzarbeit des Carnot-Prozesses

mit

$T_I < T_{II}$

Da $S_1 < S_2$ wird der erste Term positiv und der zweite Term negativ. Die Temperatur $T_{II}$ ist größer als die Temperatur $T_I$, daraus folgt, dass die Nutzarbeit des Carnot-Prozesses negativ wird. Das wiederrum bedeutet, dass mehr Wärme zugeführt als abgeführt wird und damit die überschüssige Wärme in Arbeit umgewandelt werden kann. Diese Arbeit stellt die Nutzarbeit dar, welche dann zur Verfügung steht.

Der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses

Der Carnot Prozess wurde hier für einen rechtslaufenden Kreisprozess betrachtet, das bedeutet:

Merke

In einem rechtslaufenden Kreisprozess ist es so, dass die abgegebene (negative) Arbeit größer ist als die zugeführte (positive) Arbeit. Das bedeutet also, dass die Zufuhr von Wärme $Q_{34}$ größer ist, als die spätere Entziehung der Wärme $Q_{12}$, ergo: Der Überschuss an zugeführter Wärme wird in Arbeit umgewandelt.


Der Carnot-Wirkungsgrad gibt das Verhältnis von abgegebener Arbeit zur zugeführten Wärme an:

Methode

$\eta_C = \frac{|W_C|}{Q_{34}}$ 

$\eta_C = \frac{|T_I \cdot (S_2 - S_1) + T_{II} (S_1 - S_2)|}{T_{II} (S_1 - S_2)}$.

$\eta_C = \frac{T_{II} (S_1 - S_2) - T_I \cdot (S_1 - S_2)}{T_{II} (S_1 - S_2)}$.

Methode

$\eta_C = \frac{T_{II} - T_I}{T_{II}} = \eta_C = 1 - \frac{T_I}{T_{II}} $


Der thermische Wirkungsgrad kann im obigen T,S-Diagramm als Quotient aus der oberen Rechtecksfläche geteilt durch die gesamte Fläche (beide Rechtecksflächen) gedeutet werden.

Merke

Um herauszufinden wie groß die Nutzarbeit $W_C$ ist, kann man auch die Summe der Arbeiten anstelle der negativen Summer der Wärme verwenden. Dies wird im nächsten Abschnitt gezeigt.

Video: Beschreibung des Carnot-Prozesses