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Thermodynamik - Linkslaufender Kreisprozess

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Thermodynamik

Linkslaufender Kreisprozess

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Es soll in diesem Abschnitt ein linkslaufender Kreisprozess in einem geschlossenen System betrachtet werden. Ein linkslaufender Kreisprozess liegt dann vor, wenn die Zustandsänderungen in den Zustandsdiagrammen (p,V- Diagramm) entgegen dem Uhrzeigersinn verlaufen. 

Die Vorgehensweise ist wie folgt (anhand einer Kolbenmaschine):

1. Das Gas wird mittels Arbeit, welches einem Energiespeicher entnommen wird, komprimiert. Das Volumen wird geringer, der Druck steigt und damit auch die Temperatur. Aufgrund des Temperaturanstiegs muss dem Gas Wärme entzogen werden.

2. Nachdem das Gas nun abgekühlt ist, wird diesem Wärme $Q_{12}$ zugeführt, so dass sich das Gas ausdehnt und den Kolben nach rechts verschiebt und sich das Kolbenrad dreht. Die Arbeit $W_{12}$ (negativ) wird von dem Gas abgegebenen und in den Energiespeicher geführt.

Reversibler Kreisprozess

Es soll im Weiteren ein reversibler Kreisprozess in einem geschlossenen System betrachtet werden, mit $W_{diss} = 0$. Daraus folgt für die Arbeit des Kreisprozesses $W_k$:

Methode

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$W_k = \sum W_V = -\sum Q^{rev}$

Im p,V-Diagramm sieht der ganze Prozess wie folgt aus:

Linkslaufender Kreisprozess im p,V-Diagramm
Linkslaufender Kreisprozess im p,V-Diagramm

Bei einem linkslaufenden Kreisprozess erfolgt die Zustandsänderung im p,V-Diagramm entgegen dem Uhrzeigersinn. Zunächst wird bei der Kompression des Gases von Zustand 2 auf Zustand 1 über $x$ die positive Volumenänderungsarbeit $W_{V21}$ zugeführt:

$W_{V21} = -\int_2^1 p \; dV$.

Beispiel

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Das der obige Term positiv wird soll ein Beispiel zeigen:

Das Gas zieht sich zusammen (konstanter Druck $p$) und reduziert das Volumen, indem der Kolben zurück in seine Ausgangslage verschoben wird. Das Anfangsvolumen ist $V_2 = 12 m^3$ und das Endvolumen $V_1 = 10 m^3$. Der Druck liegt konstant bei $p = 101.325 Pa$.

$W_{V21} = -\int_{V_2}^{V_1} p \; dV = - p (V_1 - V_2)$

Einsetzen der Werte:

$W_{V21} = -101.325 Pa (10 m^3 - 12 m^3) = 202.650 Nm$.

Bei einem linkslaufenden Kreisprozess erfolgt die Zustandsänderung im p,V-Diagramm entgegen dem Uhrzeigersinn. Zunächst wird bei der Expansion des Gases von Zustand 1 auf 2 über $y$ Wärme zugeführt und Volumenänderungsarbeit $W_V$ abgeführt:

$W_{V12} = -\int_1^2 p \; dV$.

Beispiel

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Das der obige Term negativ wird soll ein Beispiel zeigen:

Dem Gas wird Wärme zugeführt. Das Gas dehnt sich aus (konstanter Druck $p$) und erhöht somit das Volumen, indem der Kolben verschoben wird. Das Anfangsvolumen sei $V_1 = 10 m^3$ und das Endvolumen $V_2 = 12 m^3$. Der Druck liegt konstant bei $p = 101.325 Pa$. 

$W_{V12} = -\int_{V_1}^{V_2} p \; dV = - p (V_2 - V_1)$

Einsetzen der Werte:

$W_{V12} = -101.325 Pa (12 m^3 - 10 m^3) = -202.650 Nm$.

In den obigen Beispielen wurde zum einen angenommen, dass der Druck konstant bleibt (isobare Zustandsänderung). Zum anderen wurde angenommen, dass die abgeführte Volumenänderungsarbeit gleich der zugeführten Volumenänderungsarbeit ist und damit in einem reversiblen Prozess $W_k = 0$. Dies galt allerdings lediglich um zu zeigen, dass die Volumenänderungsarbeit einen negativen und einen positiven Wert annimmt. Damit $W_k \neq 0$ ist, muss dem Kreisprozess Wärme zugeführt und abgeführt werden.

In einem linkslaufenden Kreisprozess ist es tatsächlich so, dass die abgeführte Wärme $Q_{21}$ größer ist als die zugeführte Wärme $Q_{12}$. Dies führt zu einem Überschuss an abgeführter Wärme. Das bedeutet wiederrum, dass die zugeführte Volumenänderungsarbeit $W_{V21}$ größer ist als die abgeführte Volumenänderungsarbeit $W_{V12}$. Dieser Überschuss an zugeführter Volumenänderungsarbeit kann dann in Wärme umgewandelt werden und wird vom Gas abgeben. Diese Wärme kann dann anderweitig genutzt werden (=Nutzwärme).

Betrachtet man das folgende p,V-Diagramm, so ist die zugeführte Wärme $Q_{12}$ die Fläche unter der unteren Kurve und die abgeführte Wärme $Q_{21}$ die Fläche unter der oberen Kurve. Addiert man nun beide miteinander ($Q_{12}$ wird positiv, $Q_{21}$ wird negativ), so erhält man die schraffierte Fläche zwischen den beiden Kurven. Dies stellt die Nutzarbeit des Kreisprozesses $W_k$ dar. Die Nutzarbeit beim linkslaufenden Kreisprozess wird positiv, da mehr Arbeit zugeführt als abgeführt wird. 

Linkslaufender Kreisprozess Nutzarbeit
Nutzarbeit im linkslaufenden Kreisprozess

Merke

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Beim linkslaufenden Kreisprozess ist im Gegensatz zum rechtlaufenden Kreisprozess die bei der Kompression zuzuführende positive Volumenänderungsarbeit größer als die bei der Expansion abgegebene. Das bedeutet, dass die überschüssige zuzuführende Arbeit genutzt werden kann um diese in Wärme umzuwandeln, welche dann vom System abgegeben werden kann.

Temperatur

Die Temperatur des Gases bei der die Wärme zugeführt wird ist bei einem linkslaufenden Kreisprozess immer geringer als die Temperatur des Gases bei welcher die Wärme abgeführt wird.

Dies kann man sich folgendermaßen herleiten. Betrachtet man wieder das obige p,V-Diagramm und hier die Punkte $x$ und $y$. Die Drücke sind an diesen Punkten unterschiedlich groß, das Volumen hingegen gleich groß ($V = const$). Im Punkt $x$ wird die Wärme $Q_{12}$ zugeführt um den Druck $p_2$ zu erreichen. Im Punkt $y$ wird die Wärme $Q_{21}$ abgezogen (durch Kühlung) um den Ausgangsdruck $p_1$ zu erreichen. Man betrachtet nun die thermische Zustandsgleichung für den Punkt $x$ und $y$:

$p_xV = m \; R_i \; T_x$

$P_yV = m \; R_i \; T_y$.

Aufgelöst nach $T$:

$T_x = \frac{p_x V}{m \; R_i}$

$T_y = \frac{p_y V}{m \; R_i}$.

Division der beiden Temperaturen:

$\frac{T_x}{T_y} = \frac{p_x}{p_y}$.

Aus der Grafik ist zu erkennen, dass $p_x > p_y$ und der Bruch damit größer 1 wird:

$\frac{T_x}{T_y} = \frac{p_x}{p_y} > 1$.

Merke

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Damit ist auch $T_x > T_y$.

Der hier beschriebene linkslaufende Kreisprozess findet seine Anwendung in Wärmepumpen oder Kältemaschinen. 

Video: Linkslaufender Kreisprozess