Inhaltsverzeichnis
Beispiel
Gegeben sei eine adiabat-reversible Zustandsänderung eines idealen Gases. Es werden im Zustand 1 und im Zustand 2 die folgenden Daten gemessen:
$Z_1$:
$p_1 = 1 bar$, $t_1 = 18°C$ und $v_1 = 0,5 m^3/kg$
$Z_2$:
$p_2 = 25 bar$ und $t_2 = 80°C$.
a) Welche molare Masse $M$ besitzt das Gas?
b) Wie groß ist der Isentropenexponent $\kappa$?
c) Wie groß sind die spezifischen Wärmekapazitäten $c_p$ und $c_v$?
a) Bestimmung der molaren Masse
Die molare Masse $M$ soll zunächst bestimmt werden. Die Zustandsgleichung des idealen Gases lautet:
$pV = m \; R_i \; T$
mit $R_i$ = individuelle Gaskonstante
Man kann die individuelle Gaskonstante auch schreiben als:
$R_i = \frac{R}{M}$.
Dabei ist $R$ die universelle Gaskonstante, welche für alle Gase gilt:
$R = 8,314 J/(K \cdot mol)$.
Die Zustandsgleichung lautet dann:
$pV = m \; \frac{R}{M} \; T$.
In der Aufgabenstellung ist das spezifische Volumen gegeben:
$v = \frac{V}{m}$.
Man kann die Zustandsgleichung dann auch schreiben als (durch $m$ dividieren):
$pv = \frac{R}{M} \; T$.
Auflösen nach $M$:
$M = \frac{R \; T_1}{p_1 \; v_1}$.
Einsetzen der Werte:
$M = \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol} \cdot (18 + 273,15)K}{100.000 Pa \cdot 0,5 \frac{m^3}{kg}}$
$M = 0,04841 \frac{kg}{mol} = 48,41 \frac{g}{mol}$.
b) Bestimmung des Isentropenexponents
Der Isentropenexponent kann (siehe Abschnitt: Isentrope Zustandsänderung) mit den folgenden Zusammenhängen bestimmt werden:
$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\kappa - 1}$
oder
$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}$.
Da das Volumen $V$ nicht gegeben ist, sondern nur das spezifische Volumen und für die Berechnung des Volumens die Masse $m$ gegeben sein muss (ist in diesem Beispiel nicht gegeben), wird die zweite Gleichung herangezogen:
$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}$.
Auflösen nach $\kappa$:
$ln [\frac{T_1}{T_2}] = \frac{\kappa - 1}{\kappa} ln [\frac{p_1}{p_2}]$
$\frac{\kappa - 1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]}$
$1 - \frac{1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]}$
$ - \frac{1}{\kappa} = \frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]} - 1$
$ \frac{1}{\kappa} = -\frac{ln [\frac{T_1}{T_2}] }{ln [\frac{p_1}{p_2}]} + 1$
Einsetzen der Werte:
$ \frac{1}{\kappa} = -\frac{ln [\frac{291,15 K}{353,15 K}] }{ln [\frac{100.000 Pa}{2.500.000 Pa}]} + 1$
$\frac{1}{\kappa} = 0,94$
$\kappa = 1,06$.
c) Berechnung der spezifischen Wärmekapazität
Die spezifischen Wärmekapazitäten können aus den folgenden Beziehungen bestimmt werden (Abschnitt Kalorische Zustandsgleichung / Wärmekapazität (ideales Gas)):
Methode
$R_i = c_p - c_v$
mit
$R_i = \frac{R}{M}$
oder
Methode
$\frac{c_p}{c_v} = \kappa$
Auflösen der ersten Gleichung nach z.B. $c_p$:
$c_p = R_i + c_v$.
Einsetzen in die zweite Gleichung:
$\frac{R_i + c_v}{c_v} = \kappa$.
Auflösen nach $c_v$:
$c_v = \frac{1}{\kappa -1} \cdot R_i$.
Für $R_i = \frac{R}{M}$ einsetzen:
$c_v = \frac{1}{\kappa -1} \cdot \frac{R}{M}$
$c_v = \frac{1}{1,06 - 1} \cdot \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol}}{0,04841 \frac{kg}{mol}}$
$c_v = 2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K}$
Die spezifische Wärmekapazität $c_v$ bei konstantem Volumen (isochore Zustandsänderung) beträgt $2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K}$.
Als nächstes wird die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck bestimmt:
$c_p = R_i + c_v$
wobei $R_i = \frac{R}{M}$
$c_p = \frac{R}{M} + c_v$
$c_p = \frac{8,314 \frac{J}{K \cdot mol}}{0,04841 \frac{kg}{mol}} + 2.862,36 \frac{J}{kg \cdot K} = 3.034,10 \frac{J}{kg \cdot K}$
Die spezifische Wärmekapazität $c_p$ bei konstantem Druck (isobare Zustandsänderung) beträgt $3.034,10 \frac{J}{kg \cdot K}$.
Weitere Interessante Inhalte zum Thema
-
Stoffmenge, Molare Masse, Konzentration
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Stoffmenge, Molare Masse, Konzentration (Chemisches Rechnen, Grundrechenarten) aus unserem Online-Kurs Anorganische Chemie für Ingenieure interessant.
-
Thermische Eigenschaften, Arten der Wärmeübertragung
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Thermische Eigenschaften, Arten der Wärmeübertragung (Stoffeigenschaften im Bauwesen) aus unserem Online-Kurs Baustofftechnik 1 interessant.
-
Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität (Grundlagen der Thermodynamik) aus unserem Online-Kurs Thermodynamik interessant.