Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die Nutzarbeit des Carnot-Prozesses auch aus der Summe der technischen reversiblen Arbeiten ermittelt werden kann. Die ausführliche Beschreibung des Carnot-Prozesses ist dem vorherigen Abschnitt zu entnehmen, in welchem auch gezeigt wurde, wie die Nutzarbeit aus der negativen Summe der Wärme bestimmt wird. In diesem Abschnitt soll die Bestimmung der Nutzarbeit nun aus der Summe der zugeführten und abgeführten technischen reversiblen Arbeit erfolgen. Am Ende wird gezeigt, dass beide Vorgehensweise zum selben Ergebnis führen. Es reicht also sich für eine zu entscheiden.
Isotherme Kompression (reibungsfrei)
Zustandsänderung ($1 \to 2$):
Bei der isothermen Zustandsänderung ist: $T_1 = T_2 = T_I$
Die thermischen Zustandsgleichung sind:
$p_1V_1 = m \; R_i \; T_I$ $\Rightarrow$ $V_1 = \frac{m \; R_i \; T_I}{p_1}$
$p_2V_2 = m \; R_i \; T_I$ $\Rightarrow$ $V_2 = \frac{m \; R_i \; T_I}{p_2}$
Die technische reversible Arbeit wird berechnet durch:
$W_t^{rev} = \int_1^2 V \; dp$.
Man kann die thermische Zustandsgleichung, aufgelöst nach $V_1$ bzw. $V_2$, in die technische reversible Arbeit $W_{t12}^{rev}$ einsetzen, wobei der Druck hier als Variable angesehen wird:
$W_t^{rev} = \int_1^2 \frac{m \; R_i \; T_I}{p} \; dp$
Da in dieser Gleichung $T_I$ konstant ist ($m$ und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man diesen Term vor die Klammer ziehen:
$W_t^{rev} = m \; R_i \; T_I \int_1^2 \frac{1}{p} \; dp$
Es ergibt sich:
Methode
$ W_{t12}^{rev} = m \; R_i \; T_I \; \ln \frac{p_2}{p_1}$.
bzw. nach Boyle und Mariotte
Methode
$W_{t12} = m \; R_i \; T_I \; \ln \frac{V_1}{V_2}$.
Das ist die Arbeit die dem System zugeführt wird. Da bei der isothermen Kompression $V_1 > V_2$ bzw. $p_2 > p_1$, werden beide Terme positiv. Diese Arbeit wird dem System also zugeführt.
Eine ausführliche Herleitung für die obigen Rechnungen ist dem Abschnitt Isotherme Zustandsänderung zu entnehmen.
Isentrope Kompression
Zustandsänderung ($2 \to 3$):
Die Temperatur ist für den Zustand 2: $T_2 = T_I$
Die Temperatur ist für den Zustands 3: $T_3 = T_{II}$.
Da bei der isentropen Zustandsänderung die Änderung der Enthalpie gleich der technischen reversible Arbeit ist und die Änderung der Enthalpie auch kalorisch mit dem Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität $c_{pm}$ ausgedrückt werden kann, ergibt sich:
$H_3 - H_2 = W_{t23}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$.
Methode
$W_{t23}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_I}^{T_{II}} (T_{II} - T_I)$.
Das ist die Arbeit die dem System zugeführt wird. Da bei der isentropen Kompression $T_{II} > T_I$ ist, wird der Term positiv. Diese Arbeit wird dem System also zugeführt.
Dies stellt eine Gleichung zur Berechnung der reversiblen technischen Arbeit dar. Es existieren noch weitere Gleichungen die dem Abschnitt Isentrope Zustandsänderung zu entnehmen sind.
Isotherme Expansion
Zustandsänderung ($3 \to 4$):
Bei der isothermen Zustandsänderung ist: $T_3 = T_4 = T_{II}$
Die thermischen Zustandsgleichungen sind:
$p_3V_3 = m \; R_i \; T_{II}$
$p_4V_4 = m \; R_i \; T_{II}$
Die technische reversible Arbeit ist:
$W_{t34} = -\int_3^4 V \; dp$.
Man kann die thermische Zustandsgleichung, aufgelöst nach $V_3$ bzw. $V_4$, in die technische reversible Arbeit $W_{t34}^{rev}$ einsetzen. Da in dieser Gleichung $T_{II}$ konstant ist ($m$ und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:
Methode
$ W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln \frac{p_4}{p_3}$.
bzw. nach Boyle und Mariotte
Methode
$ W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln \frac{V_3}{V_4}$.
Das ist die Arbeit die von dem System abgegeben wird. Da bei der isothermen Expansion $V_4 > V_3$ bzw. $p_3 > p_4$ werden beide Terme negativ. Diese Arbeit wird dem System also abgeführt.
Isentrope Expansion
Zustandsänderung ($4 \to 1$):
Die Temperatur ist für den Zustand 4: $T_4 = T_{II}$
Die Temperatur ist für den Zustands 1: $T_1 = T_{I}$.
Da bei der isentropen Zustandsänderung die Änderung der Enthalpie gleich der technischen reversiblen Arbeit ist und die Änderung der Enthalpie auch kalorisch mit dem Mittelwert der spezifischen Wärmekapazität $c_{pm}$ ausgedrückt werden kann, ergibt sich:
$H_1 - H_4 = W_{t41}^{rev} = m \cdot c_{pm}|_{T_4}^{T_1} \; (T_1 - T_4)$.
Methode
$W_{t41}^{rev} = m \cdot c_{pm}|_{T_{II}}^{T_I} \; (T_I - T_{II})$.
Das ist die Arbeit die von dem System abgeführt wird. Da $T_{II} > T_I$ ist, wird der Term negativ. Diese Arbeit wird dem System also abgeführt.
Arbeit des Carnot-Prozesses
Die Arbeit $W_C$ des Carnot-Prozesses ist die Summe aus den oben angegebenen Arbeiten:
Methode
$W_C = \sum W_t^{rev}$
$W_C = W_{t12}^{rev} + W_{t23}^{rev} + W_{t34}^{rev} + W_{t41}^{rev}$.
$W_C = m \; R_i \; T_{I} \; \ln (\frac{p_2}{p_1}) + m \cdot c_{pm}|_{T_I}^{T_{II}} \; (T_{II} - T_I)$
$\; \; \; \; \; \; + m \; R_i \; T_{II} \; \ln (\frac{p_4}{p_3}) + m \cdot c_{pm}|_{T_{II}}^{T_I} \; (T_I - T_{II})$.
Aus der obigen Gleichung fallen die Terme $m \cdot c_{pm}|_{T_I}^{T_{II}} \; (T_{II} - T_I)$ und $m \cdot c_{pm}|_{T_{II}}^{T_I} \; (T_I - T_{II})$ heraus (heben sich gegenseitig auf).
Die Nutzarbeit ergibt sich demnach aus der Summe der zugeführten Arbeit im Zustand 1-2 und der abgeführten Arbeit im Zustand 3-4:
Methode
$W_C = W_{t12}^{rev} + W_{t34}^{rev}$ Nutzarbeit
Es ergibt sich also die Nutzarbeit zu:
Methode
$W_C = m \; R_i \; T_{I} \; \ln (\frac{p_2}{p_1}) + m \; R_i \; T_{II} \; \ln (\frac{p_4}{p_3})$
Die Nutzarbeit entspricht also der Summe der Arbeiten bei den isothermen Zustandsänderungen.
Mittels der Isentropengleichung $\frac{T_I}{T_{II}} = (\frac{p_1}{p_4})^{\frac{k-1}{k}} = (\frac{p_2}{p_3})^{\frac{k-1}{k}} $ kann dann das Druckverhältnis $\frac{p_4}{p_3}$ umgeschrieben werden und es resultiert:
Methode
$W_C = m \; R_i \; (T_I - T_{II}) \ln (\frac{p_2}{p_1})$ Nutzarbeit
Hinweis
Zusatzinfo: Isentropengleichung so umstellen, dass die obige Gleichung resultiert:
Zunächst einmal gilt der Zusammenhang (Abschnitt: Isentrope Zustandsänderung):
$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{k-1}{k}}$.
Es herrschen hier für die 4 Zustände zwei Temperaturen:
$T_I = T_1 = T_2$
$T_{II} = T_3 = T_4$.
Das bedeutet:
$\frac{T_I}{T_{II}} = (\frac{p_1}{p_4})^{\frac{k-1}{k}} = (\frac{p_2}{p_3})^{\frac{k-1}{k}}$.
Man muss diesen Zusammenhang so wählen, dass zwei Zustände aufeinander folgen, also $p_1$/$p_4$ sowie $p_2$/$p_3$. Es wäre nicht richtig $p_1$/$p_3$, obwohl dort ebenfalls gilt $T_I$/$T_{II}$.
Betrachtung zunächst von:
$\frac{T_I}{T_{II}} = (\frac{p_1}{p_4})^{\frac{k-1}{k}} $
Umstellen nach $\ln (p_4)$, durch Anwendung von $\ln$:
$\ln \frac{T_I}{T_{II}} = \frac{k-1}{k} \ln (\frac{p_1}{p_4}) $
$\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} = \ln (\frac{p_1}{p_4}) $
$\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} = \ln (p_1) - \ln(p_4) $
$\ln (p_4) = -\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) $
Einsetzen in den Term
$m \; R_i \; T_{II} \; \ln \frac{p_4}{p_3}$
von der Nutzarbeit $W_C$.
Zunächst aber umschreiben:
$m \; R_i \; T_{II} \; \ln (p_4) - \ln (p_3)$
$m \; R_i \; T_{II} \; [-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) - \ln(p_3)]$
Das gleiche Vorgehen für
$\frac{T_I}{T_{II}} = (\frac{p_2}{p_3})^{\frac{k-1}{k}}$
ergibt:
$\ln (p_3) = -\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_2) $
Ebenfalls einsetzen in obige Gleichung ergibt:
$m \; R_i \; T_{II} \; [-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) - \ln(p_3)]$
$m \; R_i \; T_{II} \; [-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) - (-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_2))]$
$m \; R_i \; T_{II} \; [-\frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} + \ln (p_1) + \frac{k}{k-1} \ln \frac{T_I}{T_{II}} - \ln (p_2)]$
$m \; R_i \; T_{II} \; [\ln (p_1) - \ln (p_2)] $
$- m \; R_i \; T_{II} \; [\ln (p_2) - \ln (p_1)] $.
$- m \; R_i \; T_{II} \; \ln (\frac{p_2}{p_1}) $.
Der obige Term kann nun mit dem Folgenden Term aus der Gleichung der Nutzarbeit $W_C$ zusammengefasst werden:
$m \; R_i \; T_{I} \; \ln (\frac{p_2}{p_1})$.
Es ergibt sich:
$m \; R_i \; (T_{I} - T_{II}) \ln (\frac{p_2}{p_1})$.
Es ist nun möglich das ganze mittels Entropie auszudrücken, damit man einen Vergleich zu den Formeln im vorherigen Abschnitt erhält. Die zugeführte Arbeit im Zustand 1-2 kann man ausdrücken durch:
$W_{t12}^{rev} = -Q_{12} = T_I(S_2 - S_1)$
$W_{t34}^{rev} = -Q_{34} = T_{II} (S_1 - S_2)$
Es ergibt sich demnach die Nutzarbeit zu:
$W_C = W_{t12}^{rev} + W_{t34}^{rev}$
Methode
$W_C = T_I(S_2 - S_1) + T_{II} (S_1 - S_2)$ Nutzarbeit
Da die Nutzarbeit aus der Summe der zugeführten und abgeführten Arbeiten bei den isothermen Zustandsänderungen erfolgt, kann mittels Gesetz von Boyle und Mariotte die Nutzarbeit auch in Abhängigkeit vom Volumen angegeben werden:
Methode
$W_C = m \; R_i \; (T_I - T_{II}) \ln (\frac{V_1}{V_2})$ Nutzarbeit
Die obige Formel resultiert auch, indem man die Volumenänderungsarbeiten $W_V = \int_1^2 V dp$ für jeden Zustand aufsummiert.
Prüfungstipp
Welche der Formeln für die Berechnung der Nutzarbeit am Ende herangezogen wird ist natürlich abhängig von den gegebenen Werten.
Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses
Der Wirkungsgrad ist - wie bereits im vorherigen Abschnitt beschrieben - der Quotient aus Nutzarbeit $W_C$ und zugeführter Wärme $Q_{34}$.
Merke
Je größer der Wirkungsgrad desto mehr zugeführte Wärme kann in Arbeit umgewandelt werden.
Es handelt sich bei dieser Betrachtung um einen rechtslaufenden Kreisprozess, d.h. die zugeführte Wärme $Q_{34}$ ist größer als die abgeführte Wärme $Q_{12}$ und die abgegebene Arbeit $W_{V34} + W_{V41}$ ist größer als die zugeführte Arbeit $W_{V12} + W_{V23}$.
Methode
$\eta_C = \frac{|W_C|}{Q_{34}}$
bzw.
Methode
$\eta_C = \frac{T_{II} - T_I}{T_{II}} = \eta_C = 1 - \frac{T_I}{T_{II}} $
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