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Thermodynamik - Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes

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Thermodynamik

Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes

Die Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes zeigen einen Zusammenhang zwischen zwei Größen der thermischen Zustandsgleichung, wobei eine Größe konstant gehalten wird. Diese Zusammenhänge sollen im Folgenden aufgezeigt werden.

Gesetz von Boyle und Mariotte

Dieses Gesetz besagt, dass der Druck idealer Gase bei gleichbleibender Temperatur ($T = const$) und bei gleichbleibender Stoffmenge ($n = const$) umgekehrt proportional zum Volumen $V$ ist. Das bedeutet also, wenn man den Druck erhöht, so wird das Volumen verkleinert und umgekehrt.  Außerdem ist das Produkt aus Druck und Volumen immer konstant:

Sind $T = const$ und $n = const$ so gilt:

$p \approx \frac{1}{V}$

mit $p \cdot V = const$.

Für den Vergleich von zwei Volumina bzw. Drücken gilt dann:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$

Beispiel

Es sei ein geschlossenes Gefäß mit dem Druck von 98 hPa und einem Gasvolumen von 5 m³ gegeben. Das Gas sei näherungsweise ideales Gas. Wenn nun der Druck reduziert wird auf 65 hPa, dann muss sich das Volumen soweit erhöhen, dass das Produkt aus Volumen und Druck genau so groß sind wie zu Anfang:

$V_1 \cdot p_1 = 98 \cdot 5 = 490 $

$490 = V_2 \cdot 65 \; \rightarrow V_2 = 7,54 m^3$

Probe:

$V_2 \cdot p_2 = 7,54 \cdot 65 = 490$

Gesetz von Gay-Lussac

Diese Gesetz besagt, dass das Volumen idealer Gase bei gleichbleibendem Druck ($p = const$) und gleichbleibender Stoffmenge ($n = const$) direkt proportional zur Temperatur ($T$) ist. Das bedeutet also, dass sich Gase bei der Erhöhung der Temperatur ausdehnen und bei Verringerung der Temperatur zusammenziehen.

Sind $p = const$ und $n = const$ so gilt:

$V \approx T$

mit $\frac{V}{T} = const$.

Für den Vergleich von zwei Volumina bzw. Temperaturen gilt:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$

Gesetz von Amontons

Dieses Gesetzt besagt, dass der Druck idealer Gase bei gleichbleibendem Volumen ($V = const$) und gleichbleibender Stoffmenge ($n = const$) direkt proportional zur Temperatur ($T$) ist. Das bedeutet also, dass sich bei der Erhöhung der Temperatur der Druck des Gases erhöht und umgekehrt. 

Sind $V = const$ und $n = const$ so gilt:

$p \approx T$

mit $\frac{p}{T} = const$.

Für den Vergleich von zwei Drücken bzw. Temperaturen gilt:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}$

Anwendungsbeispiel: Goethe Barometer

Goethe Barometer

Beispiel

Gegeben sei obiges Goethe-Barometer. Dieses wurde bei einem mittleren Atmosphärendruck von $p_{amb} = 101.325 Pa$ mit Wasser ($\rho = 998,2 kg/m^3$) gefüllt, wobei die Wasserhöhe im Behälter und in dem Schnabel gleich hoch sind. Ist dies der Fall, so sind Innendruck (im Behälter) und Außendruck gleich hoch. Ändert sich nun der Atmosphärendruck (Außendruck) so ändert sich die Wasserhöhe im Behälter. Das bedeutet also, wird der Atmosphärendruck größer als der Innendruck, so steigt der Wasserspiegel im Behälter an, wird der Druck geringer so sinkt der Wasserspiegel im Behälter (und steigt natürlich im Schnabel).

Der Atmosphärendruck sinkt nun, was dazu führt dass der Wasserspiegel im Schnabel um 5 cm ansteigt. Die Temperatur von $t = 20 °C$ bleibt gleich.

a) Um welche Höhe ist der Wasserspiegel im Behälter gefallen?

b) Wie hoch ist der Luftdruck im Behälter? Die Luft im Behälter soll als ideales Gas angenommen werden!

c) Wie hoch ist der Atmosphärendruck?

a) Der Wasserspiegel ist im Schnabel um 5 cm gestiegen. Das entspricht einem Volumen von: 

$V = h \cdot A = 5 cm \cdot 2 cm^2 = 10 cm^3$

Dieses Volumen wird durch den geringeren Atmosphärendruck von dem Behälter in den Schnabel gedrückt. Es muss nun die Höhe ausgerechnet werden, um welche sich der Wasserspiegel im Behälter senkt. Dies geschieht indem die Formel umgestellt wird:

$h = \frac{V}{A} = \frac{10 cm^3}{50 cm^2} = 0,2 cm$.

Die Höhe im Behälter ändert sich nur um 0,2 cm. Dies liegt an der größeren Fläche auf die sich das Wasser verteilt.

b) Da die Luft näherungsweise als ideales Gas angenommen wird, kann man (da die Temperatur konstant bleibt) das Gesetz von Boyle und Mariotte anwenden:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$

Dabei ist $p_1 = 101.325 Pa$ der Innendruck bevor der Außendruck gesunken ist. Dies entspricht dem mittleren Atmosphärendruck. Das Ausgangsvolumen der Luft im Behälter ist $V_1 = 50 cm^2 \cdot 15 cm = 750 cm^3$. Das neue Volumen (nach dem sich der Atmosphärendruck verringert hat) ist $V_2 = 50 cm^2 \cdot 15,2 cm = 760 cm^3$. Die Höhe von 15,2 cm ergibt sich durch den Abfall des Wasserspiegels im Behälter um 0,2 cm. Somit ist der Platz für die Luft um 0,2 cm gestiegen.

$p_2 = \frac{p_1 \cdot V_1}{V_2}$

$p_2 = \frac{101.325 Pa \cdot 750 cm^3}{760 cm^3} = 99.991,78 Pa$.

Der Druck im Behälter ist nun geringer als vorher. Vorher lag dieser beim mittleren Atmosphärendruck $p = 101.325 Pa$. Nun ist dieser auf $p = 99.991,78 Pa$ gesunken. Das liegt daran, weil die Luft nun einen größeren Raum zur Verfügung hat und damit der Druck sinkt.

c) Da der Wasserspiegel im Schnabel gestiegen ist und im Gefäß gefallen bedeutet das schonmal, dass der Druck im Gefäß größer ist, als der Atmosphärendruck:

$p > p_{amb}$

Die Formel zu Bestimmung des Absolutdrucks für ein Manometer kann herangezogen werden:

$p = p_b + p_d$

Der Differenzdruck muss hinzuaddiert werden, weil der Absolutdruck $p$ im Gefäß größer ist als der Bezugsdruck (Atmosphärendruck) $p_b$ bzw. hier $p_{amb}$. Umstellen der Formel nach $p_b = p_{amb}$:

$p_{amb} = p - p_d$.

Bei einem Manometer wird der Differenzdruck folgendermaßen bestimmt:

$p_d = \rho \; h \; g$.

Es soll mit dieser Formel der Eigendruck des Wassers bestimmt werden. Wasser hat eine Dichte von $\rho = 998,2 kg/m^3$. Der Höhenunterschied $h$ beträgt 5,2 cm (der Wasserspiegel im Schnabel steigt um 5 cm und fällt um 0,2 im Gefäß):

$p_d = 998,2 kg/m^3 \cdot 0,052 m \cdot 9,81 m/s^2 = 509,2 Pa$.

Einsetzen der Drücke ergibt einen Atmosphärendruck in Höhe von:

$p_{amb} = p - p_d = 99.991,78 Pa - 509,2 Pa = 99.482,58 Pa$.