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Thermodynamik

Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes

Die Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes zeigen einen Zusammenhang zwischen zwei Größen der thermischen Zustandsgleichung, wobei eine Größe konstant gehalten wird. Diese Zusammenhänge sollen im Folgenden aufgezeigt werden.

Gesetz von Boyle und Mariotte

Dieses Gesetz besagt, dass der Druck idealer Gase bei gleichbleibender Temperatur ($T = const$) und bei gleichbleibender Stoffmenge ($n = const$) umgekehrt proportional zum Volumen $V$ ist. Das bedeutet also, wenn man den Druck erhöht, so wird das Volumen verkleinert und umgekehrt.  Außerdem ist das Produkt aus Druck und Volumen immer konstant:

Sind $T = const$ und $n = const$ so gilt:

$p \approx \frac{1}{V}$

mit $p \cdot V = const$.

Für den Vergleich von zwei Volumina bzw. Drücken gilt dann:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$

Beispiel

Es sei ein geschlossenes Gefäß mit dem Druck von 98 hPa und einem Gasvolumen von 5 m³ gegeben. Das Gas sei näherungsweise ideales Gas. Wenn nun der Druck reduziert wird auf 65 hPa, dann muss sich das Volumen soweit erhöhen, dass das Produkt aus Volumen und Druck genau so groß sind wie zu Anfang:

$V_1 \cdot p_1 = 98 \cdot 5 = 490 $

$490 = V_2 \cdot 65 \; \rightarrow V_2 = 7,54 m^3$

Probe:

$V_2 \cdot p_2 = 7,54 \cdot 65 = 490$

Gesetz von Gay-Lussac

Diese Gesetz besagt, dass das Volumen idealer Gase bei gleichbleibendem Druck ($p = const$) und gleichbleibender Stoffmenge ($n = const$) direkt proportional zur Temperatur ($T$) ist. Das bedeutet also, dass sich Gase bei der Erhöhung der Temperatur ausdehnen und bei Verringerung der Temperatur zusammenziehen.

Sind $p = const$ und $n = const$ so gilt:

$V \approx T$

mit $\frac{V}{T} = const$.

Für den Vergleich von zwei Volumina bzw. Temperaturen gilt:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$

Gesetz von Amontons

Dieses Gesetzt besagt, dass der Druck idealer Gase bei gleichbleibendem Volumen ($V = const$) und gleichbleibender Stoffmenge ($n = const$) direkt proportional zur Temperatur ($T$) ist. Das bedeutet also, dass sich bei der Erhöhung der Temperatur der Druck des Gases erhöht und umgekehrt. 

Sind $V = const$ und $n = const$ so gilt:

$p \approx T$

mit $\frac{p}{T} = const$.

Für den Vergleich von zwei Drücken bzw. Temperaturen gilt:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}$

Beispiel: Goethe Barometer

Goethe Barometer

Beispiel

Gegeben sei obiges Goethe-Barometer. Dieses wurde bei einem mittleren Atmosphärendruck von $p_{amb} = 101.325 Pa$ mit Wasser ($\rho = 998,2 kg/m^3$) gefüllt, wobei die Wasserhöhe im Behälter und in dem Schnabel gleich hoch sind. Ist dies der Fall, so sind Innendruck (im Behälter) und Außendruck gleich hoch. Ändert sich nun der Atmosphärendruck (Außendruck) so ändert sich die Wasserhöhe im Behälter. Das bedeutet also, wird der Atmosphärendruck größer als der Innendruck, so steigt der Wasserspiegel im Behälter an, wird der Druck geringer so sinkt der Wasserspiegel im Behälter (und steigt natürlich im Schnabel).

Der Atmosphärendruck sinkt nun, was dazu führt dass der Wasserspiegel im Schnabel um 5 cm ansteigt. Die Temperatur von $t = 20 °C$ bleibt gleich.

a) Um welche Höhe ist der Wasserspiegel im Behälter gefallen?

b) Wie hoch ist der Luftdruck im Behälter? Die Luft im Behälter soll als ideales Gas angenommen werden!

c) Wie hoch ist der Atmosphärendruck?

a) Der Wasserspiegel ist im Schnabel um 5 cm gestiegen. Das entspricht einem Volumen von: 

$V = h \cdot A = 5 cm \cdot 2 cm^2 = 10 cm^3$

Dieses Volumen wird durch den geringeren Atmosphärendruck von dem Behälter in den Schnabel gedrückt. Es muss nun die Höhe ausgerechnet werden, um welche sich der Wasserspiegel im Behälter senkt. Dies geschieht indem die Formel umgestellt wird:

$h = \frac{V}{A} = \frac{10 cm^3}{50 cm^2} = 0,2 cm$.

Die Höhe im Behälter ändert sich nur um 0,2 cm. Dies liegt an der größeren Fläche auf die sich das Wasser verteilt.

b) Da die Luft näherungsweise als ideales Gas angenommen wird, kann man (da die Temperatur konstant bleibt) das Gesetz von Boyle und Mariotte anwenden:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$

Dabei ist $p_1 = 101.325 Pa$ der Innendruck bevor der Außendruck gesunken ist. Dies entspricht dem mittleren Atmosphärendruck. Das Ausgangsvolumen der Luft im Behälter ist $V_1 = 50 cm^2 \cdot 15 cm = 750 cm^3$. Das neue Volumen (nach dem sich der Atmosphärendruck verringert hat) ist $V_2 = 50 cm^2 \cdot 15,2 cm = 760 cm^3$. Die Höhe von 15,2 cm ergibt sich durch den Abfall des Wasserspiegels im Behälter um 0,2 cm. Somit ist der Platz für die Luft um 0,2 cm gestiegen.

$p_2 = \frac{p_1 \cdot V_1}{V_2}$

$p_2 = \frac{101.325 Pa \cdot 750 cm^3}{760 cm^3} = 99.991,78 Pa$.

Der Druck im Behälter ist nun geringer als vorher. Vorher lag dieser beim mittleren Atmosphärendruck $p = 101.325 Pa$. Nun ist dieser auf $p = 99.991,78 Pa$ gesunken. Das liegt daran, weil die Luft nun einen größeren Raum zur Verfügung hat und damit der Druck sinkt.

c) Da der Wasserspiegel im Schnabel gestiegen ist und im Gefäß gefallen bedeutet das schonmal, dass der Druck im Gefäß größer ist, als der Atmosphärendruck:

$p > p_{amb}$

Die Formel zu Bestimmung des Absolutdrucks für ein Manometer kann herangezogen werden:

$p = p_b + p_d$

Der Differenzdruck muss hinzuaddiert werden, weil der Absolutdruck $p$ im Gefäß größer ist als der Bezugsdruck (Atmosphärendruck) $p_b$ bzw. hier $p_{amb}$. Umstellen der Formel nach $p_b = p_{amb}$:

$p_{amb} = p - p_d$.

Bei einem Manometer wird der Differenzdruck folgendermaßen bestimmt:

$p_d = \rho \; h \; g$.

Es soll mit dieser Formel der Eigendruck des Wassers bestimmt werden. Wasser hat eine Dichte von $\rho = 998,2 kg/m^3$. Der Höhenunterschied $h$ beträgt 5,2 cm (der Wasserspiegel im Schnabel steigt um 5 cm und fällt um 0,2 im Gefäß):

$p_d = 998,2 kg/m^3 \cdot 0,052 m \cdot 9,81 m/s^2 = 509,2 Pa$.

Einsetzen der Drücke ergibt einen Atmosphärendruck in Höhe von:

$p_{amb} = p - p_d = 99.991,78 Pa - 509,2 Pa = 99.482,58 Pa$.

Beispiel: U-Rohr

GRAFIK

Beispiel

Gegeben sei das obige U-Rohr. Auf der rechten (verschlossenen) Seite gibt es eine Luftblase, die oberhalb des Wasserspiegels schwebt. Der anfängliche Luftdruck in der Luftblase und in der Umgebung sei $p_b = p_{Luft} = 101.300 Pa$ und die Temperatur betrage $t = 20°C$ (damit ist die Höhe des Wasserspiegels auf beiden Seiten identisch). Es soll nun auf der linken Seite in die offene Öffnung hineingepustet werden mit einem Ausatmungsdruck $p_A = 13.100 Pa$.

Es gilt:

$\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$, $g = 9,81 \frac{m}{^2}$, $t = const$.

Bestimme die neue Höhe und das neue Volumen der Luftblase!

In dieser Situation haben wir den Umgebungsdruck plus den Lungendruck, der auf die linke Wassersäule wirkt. Auf die rechte Wassersäule wirken der Luftdruck in der (komprimierten) Luftblase sowie der Differenzdruck, der durch die Differenz der Wasserspiegel erzeugt wird. Wenn du in die linke Öffnung hineinbläst, passieren zwei Dinge: Du komprimierst die Luftblase UND du erhöhst die Höhendifferenz der Wasserspiegel zwischen den beiden Seiten. 

Der Druck auf der rechten Seite vorher ist:

$p_{Luft} = p_b + p_d$

Da $p_{Luft} = p_d$ ergibt sich:

$p_{Luft} - p_b = p_d$

101.300 Pa - 101.300 Pa = p_d$

Das bedeutet $p_d = 0$.


Es wird nun der Zustand nachher betrachtet:

$p_{Luft} = (p_b +  p_A) - p_d$

Es muss zum Umgebungsdruck $p_b$ noch zusätzlich der Ausatmungsdruck hinzuaddiert werden:

Methode

(1) $p_{Luft} = (101.300 Pa + 13.100 Pa) - p_d$

Das Minuszeichen ($-pd$) resultiert, weil der Druck auf der linken Seite größer ist, als der Druck auf der rechten Seite. Durch das Pusten in die linke Meniske verschiebt sich der Wasserspiegel nach rechts. Das bedeutet der Wasserspiegel in der linken Mensike ist geringer als der Wasserspiegel in der rechten Mensike. D.h., die eingeschlossene Luft weist einen geringeren Druck als die Summe aus Umgebungsdruck und Lungendruck auf.

Der Differenzdruck $p_d$ kann wie folgt berechnet werden:

$p_d = \rho \; g \; h$  

Einsetzen ergibt:

Methode

(2) $p_{Luft} = (101.300 Pa + 13.100 Pa) -  \rho \; g \; h$ 

Der neue Luftdruck $p_{Luft}$ ist nicht bekannt. Die Höhendifferenz $h$ ist ebenfalls unbekannt. Wie können nun beide Variablen bestimmt werden?


Hierzu wird das Gesetz von Boyle und Mariotte angewandt. Da die Temperatur konstant bleibt, gilt der Zusammenhang:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1}{V_2}$

Dabei ist $V_1$ das alte Volumen der Luftblase und $V_2$ das neue Volumen der Luftblase. $p_2$ der neue Luftdruck, also $p_{Luft}$ und $p_1$ der alte Luftdruck.

Methode

$\frac{p_{Luft}}{p_1} = \frac{V_1}{V_2}$                  Boyle und Mariotte

Auflösen nach $p_{Luft}$:

$p_{Luft} = \frac{V_1 \cdot p_1}{V_2}$

Das Volumen kann auch geschrieben werden zu:

Merke

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$                           Volumen eines Rohrs bzw. Zylinders

Einsetzen ergibt:

$p_{Luft} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h_1 \cdot p_1}{\pi \cdot r^2 \cdot h_2}$


Kürzen von $r$ und $\pi$:

$p_{Luft} = \frac{h_1 \cdot p_1}{h_2}$


Auch hier treten wieder 2 Unbekannte auf: $p_{Luft}$ und $h_2$. Dabei ist $h_2$ die in der Aufgabenstellung gesuchte neue Höhe der Luftblase. Es werden zunächst alle bekannten Werte eingesetzt:

$p_{Luft} = \frac{0,12m\cdot 101.300 Pa}{h_2}$


Dieser Ausdruck wird nun eingesetzt in (2):

(2) $\frac{0,12m\cdot 101.300 Pa}{h_2} = (101.300 Pa + 13.100 Pa) - \rho \; g \; h$

Einsetzen aller bekannten Werte:

Methode

(3) $\frac{0,12m\cdot 101.300 Pa}{h_2} = 114.400 Pa - 1.000 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot h$

Es ist noch nicht möglich, diese Gleichung zu lösen, da $h_2$ und $h$ NICHT dasselbe sind. $h_2$ bezieht sich auf die neue Höhe der Luftblase, während $h$ sich auf die Höhendifferenz zwischen den Wassersäulen bezieht. Allerdings gibt es einen Zusammenhang zwischen den beiden Höhen, der sich aus dem folgenden Gedankengang herleitet:

Wenn die Höhe der Luftblase um z.B. 2 cm reduziert wird sobald man in die Öffnung hineinbläst (d.h. Höhe in der rechten Mensike reduziert sich), so erhöht sich die Höhe in der linken Mensike um 2 cm. Insgesamt ergibt sich dann ein Höhenunterschied von 4cm, also 2cm * 2.

Reduziert sich also die neue Höhe $h_2$ um $x$, dann ergibt sich:

$h_2 = h_1 - x$               Neue Höhe reduziert sich zur alten Höhe um $x$

(a) $x = h_1 - h_2$ 

(b) $h = 2 \cdot x$          Neue Höhendifferenz (2x)


Einsetzen von (a) in (b) ergibt dann:

$h = 2 \cdot (h_1 - h_2)$

Methode

$h = 2 \cdot (0,12m - h_2)$

Dieser Zusammenhang kann nun in die Gleichung (3) eingefügt werden:

(3) $\frac{0,12m\cdot 101.300 Pa}{h_2} = 114.400 Pa - 1.000 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2 \cdot (0,12m - h_2)$


Zur Besseren Übersicht wird ohne Einheiten gerechnet:

$\frac{12.156 }{h_2} = 114.400  - 19.620  (0,12 - h_2)$


Auflösen nach $h_2$:

$\frac{12.156 }{h_2} = 114.400  - 19.620  (0,12 - h_2)$           | $\cdot h_2$

$12.156  = 114.400 \cdot h_2  - 19.620 \cdot h_2 (0,12 - h_2)$ 

Auflösen der Klammer:

$12.156  = 114.400 \cdot h_2  - 19.620 \cdot 0,12 \cdot h_2  + 19.620 \cdot h_2^2$ 

$12.156  = 114.400 \cdot h_2  - 2.354,4 \cdot h_2  + 19.620 \cdot h_2^2$ 

Zusammenfassen:

$12.156 = 112.045,6 h_2 + 19.620 \cdot h_2^2$

Auf die Form bringen, um diese quadratische Gleichung mittels Mitternachtsformel zu lösen:

$19.620 \cdot h_2^2 + 112.045,6 h_2 - 12.156 = 0$

Methode

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$           Mitternachtsformel

Alternativ wäre auch die p/q-Formel oder die quadratische Ergänzung möglich. Hier muss aber die gesamte Gleichung noch durch $2.354,4$ geteilt werden, damit $h_2^2$ alleine steht.

$h_{1,2} = \frac{-112.045,6 \pm \sqrt{112.045,6^2 - 4 \cdot 19.620  \cdot -12.156}}{2 \cdot 19.620}$  

$h_1 = 0,107 m$

$h_2 = -5,82 m$

Die Höhe, welche die Luft einnimmt kann nicht negativ werden.

Das Ergebnis ist also, dass die Luft eine Höhe von $h = 0,107 m$ einnimmt, nachdem in die linke Mensike gepustet wurde. Dies entspricht einem Wert von 10,7 cm.