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Thermodynamik - Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

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Thermodynamik

Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

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Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase hat eine einfache Form und ist deswegen für die Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Druck, Volumen und Temperatur geeignet. In diesem Abschnitt wird die spezifische Gaskonstante und die thermische Zustandsgleichung aufgeführt. Danach folgen einige ausführliche Beispiele zur Anwendung der thermischen Zustandsgleichung.

Warum ideale Gase?

Die Überlegung ist, dass der Druck in einem thermodynamischen System aus den Stößen der Teilchen gegen die Wand hervorgerufen wird. Wenn man nun das Volumen $V$ dieses thermodynamischen Systems halbiert, so verdoppelt sich die Dichte der Teilchen (die Teilchen haben nun weniger Raum und liegen demnach dichter aneinander). Das führt dazu, dass nun doppelt so viele Teilchen gegen die Wand stoßen, was zu einer Verdopplung der mittleren Kraft führt, welche die Teilchen aufeinander ausüben. Das wiederum führt zu einer Verdopplung des Drucks. Beim idealen Gas ist es nun so, dass die Teilchen so weit voneinander entfernt sind, dass die Kräfte die sie aufeinander ausüben vernachlässigt werden können. Das führt dazu, dass man das ideale Gasgesetz auf alle idealen Gase ohne Rücksicht auf die chemische Zusammensetzung der Gase anwenden kann. Ideale Gase existieren in der Wirklichkeit nicht. Viele Gase können aber bei geringem Druck wie ein ideales Gas behandelt werden.

Die spezifische Gaskonstante

Ist der Druck sehr niedrig $p \to 0$ so gilt der folgende Zusammenhang zwischen $p$, $v$ und $T$, welcher immer den gleichen konstanten Wert $R_i$ annimmt:

Methode

$R_i = \frac{p \; V}{T \; m}$   für   $p \to 0$.                       

$R_i$ ist dabei die spezifische Gaskonstante, welche für verschiedene Gase unterschiedliche Größen besitzt. Diese kann entweder Tabellenwerken entnommen oder berechnet werden. Für die eigenständige Berechnung benötigt man die universelle Gaskonstante $R$,

Merke

$R = 8.314,47 \frac{J}{kmol \; K}$            Universelle Gaskonstante

welche man durch die Molmasse des betrachteten Gases dividiert:

Methode

$R_i = \frac{R}{M}$                    Berechnung spezifische Gaskonstante

Die universelle Gaskonstante gilt für alle idealen Gase unter gleichen physikalischen Bedingungen. Die universelle Gaskonstante folgt aus dem Satz von Avogadro:

Merke

Alle idealen Gase enthalten bei gleicher Temperatur und gleichem Druck in gleichen Volumina die gleiche Teilchenzahl (Satz von Avogadro).

Thermische Zustandsgleichung

Nach Umformung der obigen Gleichung erhält man dann die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases durch:

Methode

$pV = m \; R_i \; T$               Zustandsgleichung des idealen Gases

mit

$p$ - Druck in Pascal

$V$- Volumen in $m^3$

$m$ - Masse

$R_i$ Individuelle Gaskonstante

$T$ - Temperatur in Kelvin


Man kann die Zustandsgleichung auch mittels des spezifischen Volumens ausdrücken (obige Gleichung durch $m$ teilen):

Methode

$pv = R_i \; T$

mit

$v = \frac{V}{m}$ - spezifisches Volumen


Oder man drückt die thermische Zustandsgleichung durch die universelle Gaskonstante $R$ aus ($n$ anstelle von $m$):

Methode

$pV = n \; R \; T$

mit

$R$ - Universelle Gaskonstante

$n$ - Stoffmenge

-mit dem molaren Volumen (obige Gleichung durch $n$ teilen):

$p v_m = R \; T$

mit

$v_m = \frac{V}{n}$ - Molares Volumen

Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase stellt den Grenzfall aller thermischen Zustandsgleichungen dar. Sie gilt für eine geringe Dichte $\rho \to 0$, d.h. also für einen geringen Druck bei genügend hoher Temperatur. Ist dieser Fall gegeben, so können das Eigenvolumen der Gasmoleküle sowie die anziehende Kraft zwischen den Molekülen vernachlässigt werden. Für viele Gase wie z.B. die wasserdampfungesättigte Luft ist diese Gleichung auch bei Normalbedingungen eine gute Näherung. 

Anwendungsbeispiel 1: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

Beispiel

In einem Behälter mit dem Volumen von $0,1 m^3$ herrscht ein Druck von 20 MPa. Die Temperatur beträgt $t = 25 °C$ und der Behälter ist mit Sauerstoff gefüllt. Der Sauerstoff soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden. Berechne die Masse des Sauerstoffs!

Die thermische Zustandsgleichung ist:

$pV = m \; R_i \; T$        
 

Gegeben ist:

$V = 0,1m^3$

$p = 20 MPa = 20.000.000 Pa$

$T = 273,15 K + 25 = 298,15 K$

$R_i = 259,8 \frac{J}{kg K}$.  

Methode

Die spezifische (spezielle) Gaskonstante $R_i$ wurde einer Tabelle entnommen. Man kann diese auch berechnen, indem die universelle Gaskonstante mit $R = 8.314,47 \frac{J}{kmol \; K}$ herangezogen wird und durch die Molmasse von Sauerstoff geteilt wird (dem Periodensystem zu entnehmen). Die Molmasse von Sauerstoff ($O_2$) ist:

$M_{O_2} = 2 \cdot O = 2 \cdot 15,999 u = 31,998 u = 31,998 \frac{g}{mol} = 31,998 \frac{kg}{kmol}$

Die spezifische Gaskonstante ergibt sich dann mit:

$R_i = \frac{R}{M} = \frac{8.314,47 \frac{J}{kmol K}}{31,998 \frac{kg}{kmol}} = 259,8 \frac{J}{kg K}$

Gesucht:

$m = \text{Masse des Sauerstoffs}$

Einsetzen der Werte und auflösen nach $m$:

$20.000.000 Pa \cdot 0,1 m^3 = m \cdot 259,8  \frac{J}{kg K} \cdot 298,15 K$  

$m =  \frac{20.000.000 Pa \cdot 0,1 m^3}{259,8  \frac{J}{kg K} \cdot 298,15 K}$

$m =  \frac{20.000.000 \frac{kg}{ms^2} \cdot 0,1 m^3}{259,8  \frac{J}{kg K} \cdot 298,15 K}$

$m =  \frac{20.000.000 \cdot 0,1}{259,8 \cdot 298,15} = 25,82$

Berechnung der Einheit:

$m =  \frac{ \frac{kg}{ms^2} \cdot m^3}{\frac{J}{kg K} \cdot K}$

$m =  \frac{kg \; m^3 \; kg \; K}{m \; s^2 \; J \; K} = kg$                     |mit $J = \frac{kg \; m^2}{s^2}$

Der Sauerstoff in dem Behälter hat eine Masse von $m = 25,82 kg$.

Video: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

Anwendungsbeispiel 2: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

Beispiel U-Rohr thermische Zustandsgleichung
Beispiel U-Rohr-Manometer

Beispiel

Gegeben sei das obige U-Rohr-Manometer. Das U-Rohr ist oben links gechlossen und mit Stickstoff gefüllt. Danach folgt das Quecksilber mit einem ersichtlichen Höhenunterschied und der Behälter, welcher mit einem beliebigen Gas gefüllt ist. Der Stickstoff soll näherungsweise als ideales Gas gelten. Wie groß ist der absolute Druck in dem Behälter?

Bei einem U-Rohr-Manometer berechnet man den absoluten Druck innerhalb des Behälters mit:

$p = p_b + \rho \; h \; g$

Der Bezugsdruck $p_b$ ist hier der Druck, welcher der Stickstoff ausübt. Das bedeutet es muss zunächst der Bezugsdruck bestimmt werden, um dann den absoluten Druck im Behälter berechnen zu können. 

Der Bezugsdruck (also der Druck des Stickstoffs) kann mittels der thermischen Zustandsgleichung bestimmt werden, weil angenommen wird, dass der Stickstoff näherungsweise als ideales Gas gilt:

$p_b V = m \; R_i \; T$

Gegeben:

Das Volumen von dem Stickstoff kann berechnet werden durch die Höhe der Säule, in welcher sich der Stickstoff befindet, multipliziert mit der Fläche. Da es sich um einen Durchmesser der Säule von $d = 4mm$ handelt, kann man die Fläche folgendermaßen berechnen:

$A = \pi \cdot r^2$

Es handelt sich um einen Säule, welche einen kreisförmigen Querschnitt besitzt.

$A = \pi \cdot 2^2 mm^2 = 12,566 mm^2$.

Das Volumen berechnet sich nun mit der Höhe der Säule in welcher der Stickstoff enthalten ist:

$V = 500 mm \cdot 12,566 mm^2 = 6.283 mm^3 = 6.283 \cdot 10^{-9} m^3$.

Die Masse ist gegeben mit $m = 0,02g = 2 \cdot 10^{-5} kg$.

Die spezifische Gaskonstante kann aus Tabellen abgelesen werden und beträgt für Stickstoff:

$R_i = 296,8 \frac{J}{kg K}$.

Die Temperatur ist gegeben mit $t = 0°C$:

$T = 273,15 K$

Merke

WICHTIG: Die Einheiten müssen immer korrekt umgerechnet werden damit das richtige Ergebnis resultiert!!!

Es kann nun die thermische Zustandsgleichung nach $p_b$ aufgelöst und die Werte eingesetzt werden:

$p_b = \frac{m \; R_i \; T}{V}$

$p_b = \frac{2 \cdot 10^{-5} kg \cdot 296,8 \frac{J}{kg K} \cdot 273,15 K}{6.283 \cdot 10^{-9} m^3}$

Methode

$p_b = 258.064,36 Pa$                 Bezugsdruck (Stickstoff)

Es wurde nun der Bezugsdruck bestimmt. Aus der Grafik kann man anhand des Höhenunterschieds des Quecksilbers erkennen, dass der Bezugsdruck größer ist als der Druck in dem Behälter. Der absolute Druck in dem Behälter lässt sich nun mit der Gleichung für das U-Rohr-Manometer bestimmen:

$p = p_b - \rho \; h \; g$

Das Minuszeichen deswegen, weil der Bezugsdruck größer ist als der Druck im Behälter. Die Druckdifferenz $p_d = \rho h g$ ist demnach negativ. Die Dichte für das Quecksilber beträgt $\rho = 13.550 kg/m^3$.

$p = 258.064,36 Pa - 13.550 kg/m^3 \cdot 0,1 m  \cdot 9,81 m/s^2$

Methode

$p = 244.771,81 Pa$.                   Absolutdruck im Behälter

Anwendungsbeispiel 3: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

Gegeben sei wieder das in Anwendungsbeispiel 2 gegebene U-Rohr-Manometer, mit der mit Stickstoff gefüllten geschlossenen Säule. Die Angaben sind der Grafik zu entnehmen.

Beispiel

Es wird der Säule nun Wärme zugeführt, was dazu führt, dass sich der Stickstoff in der linken Säule um 20mm ausbreitet. Die Druckänderung im Behälter sowie die Dichte- und Längenänderung des Quecksilbers können dabei vernachlässigt werden.

Wie groß ist die Temperaturdifferenz des Stickstoffes?

Da die Druckänderung des Gases im Behälter vernachlässigt werden kann, kann man mittels der Gleichung für das U-Rohr den Bezugsdruck, also den Druck des Stickstoffes bestimmen:

$p = p_b - \rho \; h \; g$.

Das Minuszeichen wird wieder verwendet, weil der Druck des Stickstoffes größer ist als der des Gases im Behälter. Das sieht man wieder an der Höhendifferenz (siehe Kapitel Druck).

Der absolute Druck im Behälter lag im Anwendungsbeispiel 2 bei $p = 244.771,81 Pa$. Die Dichte von Quecksilber beträgt $\rho = 13.550 kg/m^3$. Es ist noch die Höhendifferenz zu bestimmen, welche sich nun durch die Ausdehnung des Stickstoffes um 20mm verändert hat.

Der Stickstoff breitet sich in der linken Säule um 20mm aus, d.h. der Spiegel des Quecksilbers sinkt um 20mm an der linken Säule. Das führt dazu, dass der Spiegel des Quecksilbers an der rechten Säule um genau diese 20mm erhöht wird. Die vorherige Höhendifferenz erhöht sich somit um $2 \cdot 20mm$ auf $h = 140 mm$.

$p = p_b - \rho \; h \; g$.

$244.771,81 Pa = p_b - 13.550 kg/m^3 \cdot 0,14 m \cdot 9,81 m/s^2 $

Methode

$p_b = 263.381,38 Pa$.                     Bezugsdruck (Stickstoff)

Nachdem nun der Bezugsdruck bestimmt wurde, kann die Temperaturdifferenz mittels der thermischen Zustandsgleichung bestimmt werden:

(1) $p_2V_2 = m \; R_i \; T_2$

(2) $p_1V_1 = m \; R_i \; T_1$


Es müssen diese beiden thermischen Zustandsgleichungen betrachtet werden und alle Größen, welche varriert werden (Temperatur, Volumen und Druck) mit Indizes versehen werden. Die Masse des Stickstoffes und die spezifische Gaskonstante bleiben gleich. Diese Gleichungen werden nun voneinander subtrahiert:

(1) - (2): $p_2V_2 - p_1V_1 = m \cdot R_i (T_2 - T_1)$.


In der Aufgabenstellung ist nach der Temperaturdifferenz die Frage, weshalb:

$T_2 - T_1 = \frac{p_2V_2 - p_1V_1}{m \cdot R_i}$

Der Druck $p$ ist hierbei der Bezugsdruck (Stickstoff), da dieser als ideales Gas angenommen wird. Der Bezugsdruck $p_2$ ist dabei der neue Bezugsdruck nach Erwärmung und $V_2$ das neue Volumen nach der Erwärmung.


Das neue Volumen berechnet sich durch die Ausdehnung um 20mm zu der bereits vorhandenen Höhe, welches der Stickstoff einnimmt:

$V_2 = (20mm + 500mm) \cdot \pi \cdot 2^2 = 6.534,51 mm^3 = 6.534,51 \cdot 10^{-9} m^3$.

Die Werte für $p_1$, $V_1$, $m$ und $R_i$ sind aus dem Anwendungsbeispiel 2 zu entnehmen: 

$T_2 - T_1 = \frac{263.381,38 Pa \cdot 6.534,1 \cdot 10^{-9} m^3 - 258.064,36 Pa \cdot 6.283 \cdot 10^{-9} m^3}{2 \cdot 10^{-5} kg \cdot 296,8 \frac{J}{kg K}}$

Methode

$T_2 - T_1 = 16,77 K$                                    Temperaturdifferenz

Video: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases