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Thermodynamik - Druck

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Inhaltsverzeichnis

Der AbsolutDruck $p$ in einem geschlossenen System setzt sich zusammen aus dem atmosphärischen Druck $p_{amb}$ und dem Überdruck $p_ü$: 

Methode

$p = p_{amb} + p_ü$                       Absolutdruck bei Überdruck

Wenn ein Überdruck $p_ü$ gegeben ist, dann bedeutet es, dass der Absolutdruck $p$ (manchmal auch als $p_{abs}$ bezeichnet) genau um diesen Betrag $p_ü$ über dem Atmosphärendruck $p_{amb}$ liegt. D.h. also $p$ > $p_{amb}$. Der Absolutdruck ist der Druck gemessen zum Vakuum (0 bar). 

Herrscht stattdessen ein Unterdruck $p_u$, so ist der Absolutdruck $p$ genau um diesen Betrag $p_u$ geringer als der Atmosphärendruck $p_{amb}$, d.h. also $p$ < $p_{amb}$. Der Absolutdruck $p$ setzt sich dann zusammen aus dem atmosphärischen Druck $p_{amb}$ abzüglich des Unterdrucks $p_u$: 

Methode

$p = p_{amb} - p_u$              Absolutdruck bei Unterdruck


Entspricht der Umgebungsdruck nicht gleich dem atmosphärischen Druck $p_{amb}$, wird dieser angegeben durch $p_{b}$ für Bezugsdruck. Die Differenz aus Absolutdruck $p$ und dem Bezugsdruck $p_b$ ergibt dann einen Differenzdruck $p_d$. Der Differenzdruck $p_d$ ist dabei entweder positiv, d.h. der Absolutdruck $p$ liegt über dem Bezugsdruck $p_b$ oder der Differenzdruck ist negativ, d.h. der Absolutdruck liegt unter dem Bezugsdruck $p_b$.

Methode

$p = p_b + p_d$                                                                                               
Druck Flüssigkeitssäule
Druckmessung mittels Flüssigkeitssäule

Die obige Grafik zeigt zwei Flüssigkeitssäulen, mittels derer der Druck gemessen werden kann. In der ersten Säule ist der Umgebungsdruck $p_b$ (bzw. $p_{amb}$, wenn der Umgebungsdruck gleich dem Atmosphärendruck ist) größer als der innere Druck $p$. Das sieht man daran, dass der Flüssigkeitsstand in der linken Meniske höher ist als in der Rechten. Der Umgebungsdruck $p_b$ drückt die Flüssigkeit in Richtung des Gefäßes. Folglich muss der Differenzdruck $p_d$ vom Umgebungsdruck $p_b$ subtrahiert werden um auf den Druck im Behälter zu gelangen: 

Methode

$p = p_b - p_d$      ist      $p < p_b $.

In der zweiten Säulen ist der Umgebungsdruck $p_b$ geringer als der innere Druck $p$. Folglich ist der Flüssigkeitsstand in der rechten Meniske höher als in der Linken. Der innere Druck $p$ drückt die Flüssigkeit in Richtung Ausgang. Das bedeutet, dass der Differenzdruck $p_d$ zum Umgebungsdruck $p_b$ addiert werden muss:

Methode

$p = p_b + p_d$      ist      $p > p_b$.

Merke

Der Druck $p$ wird häufig als absoluter Druck $p_{abs}$ angegeben. Er gibt den Druck gegenüber dem Druck Null im luftleeren Raum an. 


Der Druck durch Eigengewicht ist von der Höhe des geschlossenen Systems abhängig. Es gilt die folgende Gleichung, solange die Dichte $\rho$ und die Erdbeschleunigung $g$ von der Höhe unabhängig sind (auf die Herleitung wird verzichtet):

Methode

$p = \rho h g$

mit

$\rho = \text{Dichte}$

$h = \text{Höhe des Behälters}$

$g = \text{Erdbeschleundigung} = 9,81 m/s^2$


Der Druck durch äußere Belastungen kann wie folgt berechnet werden:

Methode

$p = \frac{F}{A}$.

Dabei stellt $F = m \cdot g$ die Normalkraft dar, welche senkrecht auf der Fläche $A$ steht.

Bei Messung mittels eines U-Rohrs wird folgende Gleichung verwendet um den Absolutdruck zu bestimmen:

Methode

$p = p_b + \rho h g$

Einheit des Drucks

Der Druck wird in Pascal $Pa$ bzw. Megapascal $MPa$ angegeben. Es gilt

$1 Pa = 1 N/m^2 = \frac{kg}{ms^2}$.

$1 MPa = 10^6 Pa$

Häufig wird auch die Einheit $bar$ verwendet, da der atmosphärische Druck in etwa 1 bar entspricht:

$1 bar = 10^5 Pa = 0,1 MPa$.

Anwendungsbeispiel: Druck

Druck U-Rohr

Beispiel

Gegeben sei die obige Grafik. Es handelt sich hierbei um eine Druckluftkammer unter der Erde, welche einen Überdruck $p_e$ von 100 kPa besitzt. Damit dort gearbeitet werden kann, werden der Kammer zusätzlich mittels der Druckluftflasche 80 kPa zugeführt. Der atmosphärische Druck beträgt 94 kPa.

Wie hoch ist der absolute Druck $p$ in der Druckluftkammer nach Hinzufügen der zusätzlichen Druckluft? Wie hoch ist der Höhenunterschied der Menisken eines mit Quecksilber ($\rho = 13.550 kg/m^3$) gefüllten U-Rohrs?

Zunächst wird der Druck innerhalb der Druckkammer bestimmt:

$p = p_{amb} + p_e = 94 kPa + 100 kPa = 194 kPa$.

Dann wird der Druck bestimmt, wenn 80 kPa hinzugefügt werden:

$p = 194 kPa + 80 kPa = 274 kPa$.

Den Höhenunterschied der Mensiken kann man mittels der Formel für das U-Rohr bestimmen:

$p = p_b + \rho h g$

$274 kPa = 94 kPa + 13.550 \frac{kg}{m^3} \cdot h \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}$

$h = \frac{274.000 Pa - 94.000 Pa}{13.550 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}} $

$h = \frac{180.000 \frac{kg}{ms^2}}{13.550 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}} $

$h = 1,354 m$.

Anwendungsbeispiel: U-Rohr

Beispiel

Gegeben sei ein U-Rohr mit einem Stoff 1, welcher eine Dichte von 1.200 kg/m³ besitzt. Es soll ein zusätzlicher leichterer Stoff 2 hinzugefügt werden. In den rechten Schenkel wird der Stoff 2 mit einer Flüssigkeitshöhe von 80mm, in den linken Schenkel eine Flüssigkeitshöhe von 40mm zugefügt. Die Stoffe sind nicht vermischbar und unlösbar. Am Ende entsteht ein Höhenunterschied der Mensiken von 10mm.

Wie hoch ist die Dichte von Stoff 2?

Die folgende Grafik veranschaulicht das Problem:

Druck U-Rohr

Es werden von dem Stoff 2 (blau) 80mm in den rechten Schenkel und 40mm in den linken Schenkel gefüllt. Wäre der dort bereits enthaltene Stoff 1 (rot) auf gleicher Höhe, so hätte sich ein Höhenunterschied von 40mm eingestellt. Da nun aber ein Höhenunterschied von 10 mm resultiert, muss bereits ein Höhenunterschied für Stoff 1 in Höhe von 30mm in den Menisken vorgelegen haben. Dies ist wichtig zu erfahren, da nun zuerst der Differenzdruck für den Stoff 1 bestimmt wird (und hier ist der Höhenunterschied der Menisken notwendig) und dann kann mit diesem Differenzdruck die Dichte des 2. Stoffes bestimmt werden.

In einem U-Rohr kann man den Absolutdruck bestimmen durch:

$p = p_b + \rho h g$

Da hier allerdings der Bezugsdruck $p_b$ nicht gegeben ist und man damit den Absolutdruck nicht bestimmen kann, wird im Weiteren mit dem Differenzdruck gearbeitet. Der Differenzdruck für den 1. Stoff berechnet sich:

$p_d = \rho \; h \; g = 1.200 kg/m^3 \cdot 0,03m \cdot 9,81 m/s^2 = 353,16 \frac{kg}{m s^2}$

$p_d = 353,16 Pa$.

Es kann jetzt die Dichte des 2. Stoffes bestimmt werden, indem die obige Gleichung nach $\rho$ aufgelöst wird:

$\rho = \frac{p_d}{h \; g} $

Hier wird der Differenzdruck verwendet, welcher gerade berechnet wurde. Dieser bleibt nämlich gleich. Es ändert sich allerdings die Höhe. Es muss nun der Höhenunterschied nur für den 2. Stoff betrachtet werden, ohne den 1. Stoff zu berücksichtigen. Das ist deswegen der Fall, weil bei einer gegebenen Druckdifferenz zwei Stoffe mit unterschiedlicher Dichte auch unterschiedliche Höhenunterschiede aufweisen. Würde man denselben Höhenunterschied wählen sollte klar sein, dass genau die Dichte für den 1. Stoff als Ergebnis resultieren würde. Der Höhenunterschied für den 2. Stoff ist: 

$h = 80mm - 40mm = 40mm$.

$\rho = \frac{353,16 \frac{kg}{ms^2}}{0,04m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}$

$\rho = 900 kg/m^3$.

Der 2. Stoff hat eine Dichte von 900kg/m³.

Video: Druck

Video: Druck