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Thermodynamik

Joule-Prozess

Der nach James Prescott Joule benannte Joule-Prozess ist ein thermodynamischer Kreisprozess. In diesem Abschnitt soll der Joule-Prozess als Vergleichsprozess für den in GasTurbinenanlagen ablaufenden Vorgang betrachtet werden. Dazu wird dieser als reversibel angenommen. Der Joule-Prozess besteht aus zwei isentropen und zwei isobaren Zustandsänderungen. Im Folgenden wird die Vorgehensweise des Joule-Prozesses dargestellt. Zum besseren Verständnis wird das p,V- und T,S-Diagramm eingeführt:

Joule-Prozess im p,V-Diagramm
Joule-Prozess im p,V-Diagramm
Joule-Prozess im T,S-Diagramm
Joule-Prozess im T,S-Diagramm

Vorgehensweise Joule-Prozess

Zustandsänderung $1 \to 2$: Isentrope Kompression (adiabat und reversibel)

Im Verdichter, welcher adiabat abgedichtet ist ($Q_{12} = 0$), wird das dort befindliche Gas isentrop ($dS = 0$) verdichtet. Um das Gas zu verdichten, muss diesem Arbeit $W_{t12}$ zugeführt werden. Die Verdichtung des Gases führt dazu, dass sich das Volumen verringert, der Druck und die Temperatur steigen. Die zugeführte Arbeit wird berechnet durch:

$W_{t12} = W_{t12}^{rev} + W_{diss12}$      

mit

$W_{diss} = 0$, da es sich um eine isentrope Zustandsänderung handelt (reversibel).

Methode

$W_{t12} = W_{t12}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$.

Die Arbeit wird positiv (dem Gas zugeführt), da $T_2 > T_1$ (siehe T,S-Diagramm).

Gut zu wissen

Diese Gleichung ist dem Abschnitt Isentrope ZustandsänderungReversible technische Arbeit entnommen worden.


Zustandsänderung
$2 \to 3$: Isobare Wärmezufuhr

Das Gas wird nun aus dem Verdichter gelassen und dem Gas dann isobar Wärme zugeführt. Dies kann mittels eines Wärmebades oder durch Verbrennung geschehen. Die chemische Zusammensetzung des Gases bei der Verbrennung wird nicht weiter berücksichtigt. Der Druck bleibt konstant $dp = 0$, das Volumen vegrößert sich und die Temperatur nimmt zu. Dem Gas wird Wärme von außen zugeführt, weshalb $dQ > 0$. 

Die Arbeit ist null, da der Druck konstant ist und damit wird die Gleichung für die reversible technische Arbeit gleich null:

$W_t^{rev} = \int_1^2 V \; dp = 0$.

Die Wärmemenge die zugeführt wird:

Methode

$Q_{23} = H_3 - H_2 =  m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$ .    

Die Wärmemenge wird positiv (dem Gas zugeführt), da $T_3 > T_2$ (siehe T,S-Diagramm).

Gut zu wissen

Diese Gleichung ist dem Abschnitt Isobare ZustandsänderungWärme entnommen worden.


Zustandsänderung
 $3 \to 4$: Isentrope Expansion (adiabat und reversibel)

Das Gas wird weiter in die Turbine geleitet, welche adiabat abgedichtet ist ($dQ = 0$). Das Gas wird innerhalb der Turbine isentrop ($dS = 0$) expandiert. Das bedeutet, dass das Volumen sich vegrößert, der Druck und die Temperatur sich verringern (siehe obige Diagramme). Bei diesem Prozess wird Arbeit vom Gas abgegeben:

Methode

$W_{t34} = W_{t34}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_3}^{T_4} (T_4 - T_3)$.

Die Arbeit $W_{t34}$ wird negativ (vom Gas abgegeben) weil $T_4 < T_3$.


Zustandsänderung
 $4 \to 1$: Isobare Wärmeabfuhr

Das Gas wird nun aus der Turbine gelassen und diesem dann isobar Wärme abgeführt, um wieder den Ausgangszustand 1 zu erreichen (siehe T,S-Diagramm). Die Wärmeabfuhr kann z.B. mittels eines Kältebades erreicht werden. Die chemische Zusammensetzung des Gases bei der Kühlung wird nicht weiter berücksichtigt. Der Druck bleibt konstant $dp = 0$, das Volumen verringert sich und die Temperatur nimmt ab. Dem Gas wird Wärme abgeführt, weshalb $dQ < 0$. 

Die Arbeit ist null, da der Druck konstant ist und damit wird die Gleichung für die reversible technische Arbeit gleich null:

$W_t^{rev} = \int_4^1 V \; dp = 0$.

Die Wärmemenge die abgeführt wird:

Methode

$Q_{41} = H_1 - H_4 =  m \; c_{pm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)$ .    

Die Wärmemenge $Q_{41}$ wird negativ, weil $T_1 < T_4$ (siehe T,S-Diagramm).

Nutzarbeit des Joule-Prozesses

Die Nutzarbeit eines Kreisprozess wird berechnet durch:

$W_k = -\sum Q = \sum W_t$.

Für den Joule-Prozess berechnet sich die Nutzarbeit wie bei einem Kreisprozess:

Methode

$W_j = -\sum Q = \sum W_t$     Nutzarbeit Joule-Prozess

Wenn man nun die obigen Zustandsänderungen und die dazugehörigen Gleichungen betrachtet, dann sieht man, dass die negative Summe aus Wärmezu- und abfuhr gleich der Summe aus Arbeitszufuhr und -abfuhr ist:

$W_j = -\sum Q = - [Q_{23} + Q_{41}]$

$W_j = -[m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2) + m \; c_{pm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)]$

Nimmt man nun eine konstante spezifische Wärmekapazität $c_{pm}$ über den gesamtem Prozess an, so gilt:

$W_j = -[m \; c_{pm} (T_3 - T_2 + T_1 - T_4)]$.

Das Minuszeichen auflösen ergibt:

Methode

$W_j = m \; c_{pm} (T_2 - T_1 + T_4 - T_3)]$


Für die Summe der Arbeitszufuhr und -abfuhr gilt:

$W_j = \sum W_t = W_{t12} + W_{t34}$

$W_j =  m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) + m \; c_{pm}|_{T_3}^{T_4} (T_4 - T_3)$

Nimmt man nun eine konstante spezifische Wärmekapazität $c_{pm}$ über den gesamtem Prozess an, so gilt:

Methode

$W_j =  m \; c_{pm} (T_2 - T_1 + T_4 - T_3)$

Man sieht also ganz deutlich, dass die negative Summe aus Wärmezufuhr und -abfuhr gleich der Summe aus Arbeitszufuhr- und abfuhr ist.

Thermischer Wirkungsgrad des Joule-Prozesses

Da es sich hierbei um die Betrachtung eines rechtslaufenden Kreisprozesses handelt, ist die Wärmezufuhr größer als die Wärmeabfuhr. Wenn man also die Summe bildet, dann verbleibt eine überschüssige Wärmezufuhr. Diese überschüssige Wärmezufuhr wird dazu genutzt, um diese in Arbeit umzuwandeln (=Nutzarbeit $W_j$)), welche dann genutzt wird um z.B. eine Maschine anzutreiben. Der Wirkungsgrad setzt demnach den Betrag der erzeugten Nutzarbeit ins Verhältnis zur gesamten zugeführten Wärme:

$\eta_j = \frac{|W_j|}{Q_{23}} = \frac{|-\sum Q|}{Q_{23}} = \frac{Q_{23} + Q_{41} }{Q_{23}}$


Einsetzen der obigen Gleichungen für die Wärme ergibt:

$\eta_j = 1 + \frac{m \; c_{pm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)}{m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)}$.

Nimmt man nun eine konstante spezifische Wärmekapazität $c_{pm}$ über den gesamtem Prozess an, so gilt:

Methode

$\eta_j = 1 + \frac{T_1 - T_4}{T_3 - T_2}$.

Im obigen p,V-Diagramm ist gut zu erkennen, dass der Druck für den Zustand 1 und den Zustand 4 gleich ist $p_1 = p_4$. Genau das selbe gilt auch für die Zustände 2 und 3, welche ebenfalls den selben Druck aufweisen $p_2 = p_3$. Da es sich um zwei Isentropen handelt (1-2 und 3-4) kann folgendes Verhältnis eingeführt werden (siehe Abschnitt isentrope Zustandsänderung):

$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{k - 1}{k}}$

bzw.

$\frac{T_4}{T_3} =  (\frac{p_4}{p_3})^{\frac{k - 1}{k}}$.

Aufgrund von $p_1 = p_4$ und $p_2 = p_3$ gilt:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{T_4}{T_3} = (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{k - 1}{k}}$.

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{T_4}{T_3}$.

Aufgelöst nach $T_4$:

$T_4 = T_3 \frac{T_1}{T_2}$

Eingesetzt in die obige Gleichung für den thermischen Wirkungsgrad:

$\eta_j = 1 + \frac{T_1 - T_4}{T_3 - T_2}$.

Der thermische Wirkungsgrad kann also folgendermaßen vereinfacht werden:

Methode

$\eta_j = 1 - \frac{T_1}{T_2} = 1 - (\frac{p_1}{p_2})^{\frac{k - 1}{k}}$

Man sieht ganz deutlich, dass der thermische Wirkungsgrad abhängig von dem Temeraturverhältnis bzw. vom Druckverhältnis bei isentroper Zustandsänderung ist. Die Wärmezufuhr bzw. -abfuhr beeinflusst den thermischen Wirkungsgrad nicht. Je kleiner das Druckverhältnis $ \frac{p_1}{p_2}$ desto größer der Wirkungsgrad. Auch ein höherer Isentropenexponent $k$ ($k$ beim idealen Gas), kann den Wirkungsgrad erhöhen. Dies kann durch den Einsatz von Gasen mit hohem Isentropenexponent erreicht werden.

Exergetischer Wirkungsgrad des Joule-Prozesses

Die Exergie der Wärme ist derjenige Teil der zugeführten Wärme, welche von dem Kreisprozess in Arbeit umgewandelt werden kann.

Der exergetische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses gibt an, wie viel von der Exergie der zugeführten Wärme $E_{Q_{zu}}$ in mechanische Arbeit bzw. Nutzarbeit $W_j$ umgewandelt wird:

Methode

$\zeta_{j} = \frac{|W_j|}{E_{Q_{23}}}$

Die Exergie der zugeführten Wärme ist (siehe Abschnitt Exergie und Anergie: Wärme):

$E_{Q12} = Q_{12} - T_b (S_2 - S_1) + T_b \int_1^2 \frac{dW_{diss}}{T}$.

Da es sich hier um einen reversiblen Prozess handelt:

$E_{Q23} = Q_{23} - T_b (S_3 - S_2) $.

Bei Betrachtung des Abschnittes isobare Zustandsänderung ergibt sich:

$Q_{23} = m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$,

$S_3 - S_2 = m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} \; \ln{\frac{T_3}{T_2}}$ .

Mit $c_{pm} = const$,

sowie

$T_4 = T_3 \frac{T_1}{T_2}$  (siehe Umformungen beim thermischen Wirkungsgrad), ergibt sich:

Methode

$\zeta_j = \frac{1 - \frac{T_1}{T_2}}{1 - \frac{T_b}{T_3 - T_2} \ln(\frac{T_3}{T_2}} =  \frac{\eta_j}{1 - \frac{T_b}{T_3 - T_2} \ln(\frac{T_3}{T_2})}$

Arbeitsverhältnis des Joule-Prozesses

Das Arbeitsverhältnis des Joule-Prozesses setzt die Nutzarbeit $W_j$ (die tatsächlich abgeführte Arbeit $\rightarrow$ Summe aus zugeführter und abgeführter Arbeit) mit der insgesamt abgeführten technischen reversiblen Arbeit $W_{t34}^{rev}$ ins Verhältnis. Das Arbeitsverältnis vergleicht also den Einfluss von Dissipationsarbeit bei einem irreversiblen Prozess mit einem reversiblen Prozess (technische reversible Arbeit). Je mehr dissipiert wird, desto geringer wird die Nutzarbeit und desto geringer wird das Arbeitsverhältnis.

Methode

$r_j = \frac{W_j}{W_{t34}} = 1 - \frac{T_2}{T_3}$

Die Umformungen um auf obiges Arbeitsverhältnis zu kommen, können analog zu denen des thermischen Wirkungsgrads durchgeführt werden.