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Thermodynamik

Diesel-Prozess (Gleichdruckprozess)

Der Diesel-Prozess stellt einen Vergleichsprozess für den nach dem deutschen Ingenieur Rudolf Diesel benannten Verbrennungsmotor dar. Es handelt sich um einen rechtslaufenden Kreisprozess, d.h. die überschüssige zugeführte Wärme wird in Arbeit umgewandelt. Der Kreisprozess wird auch als Gleichdruckprozess bezeichnet, weil die Wärmezufuhr bei gleichbleibendem Druck (isobare Zustandsänderung) stattfindet. Im Gegensatz dazu findet beim Otto-Prozess die Wärmezufuhr bei gleichbleibendem Volumen statt. Im Folgenden wird der Diesel Kreisprozess ausführlich erläutert. Dabei wird von einem reversiblen Prozess ausgegangen ($W_{diss} = 0$). Zum besseren Verständnis werden das p,V-Diagramm und das T,S-Diagramm eingeführt:

Diesel-Prozess im pV-Diagramm
Diesel-Prozess im pV-Diagramm
Diesel Prozess im TS-Diagramm
Diesel Prozess im TS-Diagramm

Vorgehensweise des Diesel-Prozesses

Bei dem Vergleichsprozess der hier aufgeführt wird, wird die Selbstzündung des brennbaren Gemisches, welches eingespritzt wird, durch eine isobare Wärmezufuhr von außen ersetzt und das Abstoßen der Abgasen und das Ansaugen frischer Gase durch eine isochore Wärmeabfuhr nach außen. Als Gas wird hier Luft herangezogen und damit die Veränderung der chemische Zusammensetzung des Gases vernachlässigt.


Zustandsänderung
 ($1 \to 2$): Isentrope Kompression

Die Luft wird mittels Arbeitszufuhr isentrop verdichtet. Eine isentrope Zustandsänderung bedeutet, dass keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht werden kann ($Q = 0$). Durch die Kompression der Luft, reduziert sich das Volumen, Druck und Temperatur steigen. Die Arbeit die zugeführt wird ergibt sich aus dem Abschnitt isentrope Zustandsänderung:

Methode

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$W_{t12}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$.

$Q_{12} = 0$.


Zustandsänderung
 ($2 \to 3$): Isobare Wärmezufuhr

Der Luft wird nun von außen Wärme $Q_{23}$ zugeführt (ersetzt die Selbstzündung des eingespritzten Gemisches). Dabei wird der Druck konstant gehalten. Aufgrund der Wärmezufuhr steigen Volumen und Temperatur an. Die der Luft zugeführte Arbeit und zugeführte Wärme werden dem Abschnitt isobare Zustandsänderung entnommen.

Bei der isobaren Zustandsänderung ist die am offenen System durchgeführte Druckänderungsarbeit gleich null, weil der Druck konstant ist: 

Methode

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$W_t^{rev} = \int_1^2 V \; dp = 0$.

Die zugeführte Wärme $Q_{23}$ ist:

Methode

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$Q_{23} = H_3 - H_2 =  m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$ .  


Zustandsänderung
 ($3 \to 4$): Isentrope Expansion

Der Druck wird nun nicht mehr konstant gehalten. Daraufhin vergrößert sich das Volumen der Luft (aufgrund des hohen Drucks). Die Temperatur und der Druck sinken daraufhin. Aufgrund der isentropen Zustandsänderung kann keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht werden. Bei der Expansion der Luft wird Arbeit von der Luft an den Kolben abgegeben. Die Arbeit die abgeführt wird ergibt sich aus dem Abschnitt isentrope Zustandsänderung:

Methode

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$W_{t34}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_3}^{T_4} (T_4 - T_3)$.

$Q_{34} = 0$.


Zustandsänderung
 ($4 \to 1$): Isochore Wärmeabfuhr

Der Luft wird nun von außen Wärme $Q_{41}$ entzogen (ersetzt das Abstoßen der Abgase und Ansaugen des frischen Gemisches). Dabei wird das Volumen konstant gehalten (Kolben bleibt stehen). Aufgrund der Wärmeabfuhr sinken Druck und Temperatur. Die der Luft abgeführte Arbeit und abgeführte Wärme werden dem Abschnitt isochore Zustandsänderung entnommen.

Methode

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$Q_{41} = U_1 - U_4 =  m \; c_{vm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)$     

$W_{t41}^{rev} = m \; R_i \; (T_1 - T_4)$    

 

Nutzarbeit des Diesel-Prozesses

Die Nutzarbeit des Diesel-Prozesses berechnet sich durch:

Methode

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$W_{D} = \sum W_t^{rev} = -\sum Q$.

Es kann zur Berechnung der Nutzarbeit sowohl die Summe aus technischer reversibler Arbeit als auch die negative Summe aus der Wärme verwendet werden (wie in den vorherigen Abschnitten bereits gezeigt wurde). Da das Ergebnis dasselbe ist, die Berechnung über die Wärme aber meist knapper ausfällt, wird hier lediglich die Berechnung über die Wärme aufgezeigt.

$W_{D} = -\sum Q$.

$|W_D| = -W_D = \sum Q = Q_{23} + Q_{41} $

$-W_D = m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2) + m \; c_{vm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)$


Es gilt: $c_{pm} = \kappa \; c_{vm}$


$-W_D = m \; \kappa \; c_{vm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2) + m \; c_{vm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)$


Es wird von einer konstanten spezifischen Wärmekapazität $c_{vm}$ ausgegangen:

Methode

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$|W_D| = -W_D = m \; c_{vm} (T_1 - \kappa T_2 + \kappa T_3 - T_4)$      Nutzarbeit

Thermischer Wirkungsgrad des Diesel-Prozesses

Es handelt sich hierbei um einen rechtslaufenden Kreisprozess. Die zugeführte Wärme ist demnach größer als die abgeführte Wärme. Die Summe ergibt also einen Überschuss an zugeführter Wärme (=Nutzwärme). Dieser Überschuss wird genutzt um Arbeit zu erzeugen. Die zugeführte Wärme wird also in Arbeit umgewandelt. Der thermische Wirkungsgrad setzt nun diese zugeführte Nutzwärme ins Verhältnis zur gesamten zugeführten Wärme:

$\eta_{D} = \frac{|W_{D}|}{Q_{23}} = \frac{ m \; c_{vm} (T_1 - \kappa T_2 + \kappa T_3 - T_4)}{ m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)}$


Wobei wieder $c_{pm} = \kappa \; c_{vm}$ gilt:

$\eta_{D} = \frac{ m \; c_{vm} (T_1 - \kappa T_2 + \kappa T_3 - T_4)}{ m \; \kappa \; c_{vm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)}$


Mit $c_{vm} = const.$:

$\eta_{D} = \frac{ m \; c_{vm} (T_1 - \kappa T_2 + \kappa T_3 - T_4)}{ m \; \kappa \; c_{vm} (T_3 - T_2)}$

Methode

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$\eta_{D} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{\kappa (T_3 - T_2)}$     Thermischer Wirkungsgrad


Aufgrund von den Zusammenhängen (isobare Zustandsänderung 2-3):

$\frac{V_3}{V_2} = \frac{T_3}{T_2}$

wobei 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\varphi = \frac{V_3}{V_2} = \frac{T_3}{T_2}$            Einspritzverhältnis

Aufgelöst nach $T_3$:

(1) $T_3 = \frac{V_3}{V_2}T_2 = \varphi T_2$


Es gilt zudem noch der Zusammenhang für die isentrope Zustandsänderung (3-4):

$\frac{T_4}{T_3} = (\frac{V_3}{V_4})^{\kappa - 1}$                |Ergänzen mit $\frac{V_2}{V_2}$

$\frac{T_4}{T_3} = (\frac{V_3 V_2}{V_2 V_4})^{\kappa - 1}$               |$\varphi = \frac{V_3}{V_2}$

$\frac{T_4}{T_3} = \varphi^{\kappa - 1} \cdot (\frac{V_2}{V_4})^{\kappa - 1}$  

Es gilt: $V_1 = V_4$:

$\frac{T_4}{T_3} = \varphi^{\kappa - 1} \cdot (\frac{V_2}{V_1})^{\kappa - 1}$  

Es gilt: $(\frac{V_2}{V_1})^{\kappa - 1} = \frac{T_1}{T_2}$

$\frac{T_4}{T_3} = \varphi^{\kappa - 1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$  

Aufgelöst nach $T_4$:

$T_4 =  \varphi^{\kappa - 1} \cdot \frac{T_1}{T_2} \cdot T_3$            |$\varphi = \frac{T_3}{T_2}$

$T_4 =  \varphi^{\kappa - 1} \cdot T_1 \cdot \varphi$ 

(2) $T_4 =  \varphi^{\kappa} \cdot T_1 $.

Einsetzen von (1) und (2) in die Gleichung für den thermischen Wirkungsgrad ergibt eine Darstellungsform in Abhängigkeit vom Einspritzverhältnis:

Methode

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$\eta_D = 1 - \frac{T_1}{T_2} \frac{\varphi^{\kappa} - 1}{\kappa (\varphi - 1)}$

mit

$\varphi = \frac{V_3}{V_2} = \frac{T_3}{T_2}$   Einspritzverhältnis

$\kappa = \frac{c_{pm}}{c_{vm}} $       Isentropenexponent

Es kann noch das Verdichtungsverhältnis eingeführt werden:

Methode

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$\epsilon = \frac{V_1}{V_2} = (\frac{T_2}{T_1})^{\kappa - 1}$          Verdichtungsverhältnis


Dann ergibt sich der thermische Wirkungsgrad in Abhängigkeit vom Einspritzverhältnis und vom Verdichtungsverhältnis:

Methode

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$\eta_D = 1 - \frac{1}{\epsilon^{\kappa - 1}} \frac{\varphi^{\kappa} - 1}{\kappa (\varphi - 1)}$

Je größer der Wirkungsgrad, desto mehr von der zugeführten Wärme wird in Arbeit umgewandelt.

Exergetischer Wirkungsgrad des Diesel-Prozesses

Die Exergie der Wärme ist derjenige Teil der zugeführten Wärme, welche von dem Kreisprozess in Arbeit umgewandelt werden kann.

Der exergetische Wirkungsgrad des Diesel-Prozesses gibt an, wie viel von der Exergie der zugeführten Wärme $E_{Q_{zu}}$ in mechanische Arbeit bzw. Nutzarbeit $W_{D}$ umgewandelt wird:

Methode

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$\zeta_{D} = \frac{|W_{D}|}{E_{Q_{23}}}$

Dabei ist die Exergie der Wärme (siehe Abschnitt Exergie und Anergie: Wärme):

$E_{Q_{23}} = Q_{23} - T_b (S_3 - S_2)$.

Bei Betrachtung des Abschnittes isobare Zustandsänderung ergibt sich:

$Q_{23} = m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$

$S_3 - S_2 = m \; c_{pm}|_{T_2}^{T_3} \; \ln{\frac{T_3}{T_2}}$.

Es ergibt sich nach mehreren Umformungen folgender exergetischer Wirkungsgrad:

Methode

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$\zeta_{D} = \frac{\eta_D}{1-\frac{T_b}{T_1} \frac{\ln \varphi}{\epsilon^{\kappa - 1} (\varphi - )}}$      Exergetischer Wirkungsgrad

Das Arbeitsverhältnis des Diesel-Prozesses

Das Arbeitsverhältnis des Otto-Prozesses setzt die Nutzarbeit $W_D$ (die tatsächlich abgeführte Arbeit $\rightarrow$ Summe aus zugeführter und abgeführter Arbeit) mit der insgesamt abgeführten technischen reversiblen Arbeit $W_{t34}^{rev} + W_{t41}^{rev}$ eines reversiblen Prozesses ins Verhältnis. Das Arbeitsverhältnis vergleicht also den Einfluss von Dissipationsarbeit bei einem irreversiblen Prozess mit einem reversiblen Prozess ($\sum W_t^{rev} (-)$). Je mehr dissipiert wird, desto geringer wird die Nutzarbeit $W_D$ und desto geringer wird das Arbeitsverhältnis $r_D$.

$r_D = \frac{W_D}{W_{t34}^{rev} + W_{t41}^{rev}}$.

Insgesamt ergibt sich folgendes Arbeitsverhältnis für den Diesel-Prozess:

Methode

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$\Large{r_D = \frac{\eta_D (\varphi - 1)}{\varphi - \frac{\varphi^{\kappa} + \kappa - 1}{\kappa \; \epsilon^{\kappa -1}}}}$