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Thermodynamik

Otto-Prozess (Gleichraumprozess)

Der Otto-Prozess stellt einen Vergleichsprozess für den, nach dem deutschen Erfinder Nicolaus Otto benannten, Verbrennungsmotor dar. Es handelt sich um einen rechtslaufenden Kreisprozess, d.h. die überschüssige zugeführte Wärme wird in Arbeit umgewandelt. Der Kreisprozess wird auch als Gleichraumprozess bezeichnet, weil die Wärmezufuhr bei gleichbleibendem Volumen (isochore Zustandsänderung) stattfindet. Im Folgenden wird der Otto Kreisprozess ausführlich erläutert. Dabei wird von einem reversiblen Prozess ausgegangen ($W_{diss} = 0$). Zum besseren Verständnis werden das p,V-Diagramm und das T,S-Diagramm eingeführt:

Otto-Prozess im p,V-Diagramm
Otto-Prozess im p,V-Diagramm
Otto-Prozess im T,S-Diagramm
Otto-Prozess im T,S-Diagramm

Vorgehensweise des Otto-Prozesses

Bei dem Vergleichsprozess der hier aufgeführt wird, wird die Fremdzündung des brennbaren Gemisches durch eine isochore Wärmezufuhr von außen ersetzt und das Abstoßen der Abgasen und das Ansaugen frischer Gase durch eine isochore Wärmeabfuhr nach außen. Als Gas wird hier Luft herangezogen und damit die Veränderung der chemische Zusammensetzung des Gases vernachlässigt.

Zustandsänderung ($1 \to 2$): Isentrope Kompression

Die Luft wird mittels Arbeitszufuhr isentrop verdichtet. Eine isentrope Zustandsänderung bedeutet, dass keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht werden kann ($Q = 0$). Durch die Kompression der Luft, reduziert sich das Volumen, Druck und Temperatur steigen. Die Arbeit die zugeführt wird ergibt sich aus dem Abschnitt isentrope Zustandsänderung:

Methode

$W_{t12}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$.


Zustandsänderung
 ($2 \to 3$): Isochore Wärmezufuhr

Der Luft wird nun von außen Wärme $Q_{23}$ zugeführt (ersetzt die Fremdzündung des Gemisches). Dabei wird das Volumen konstant gehalten (Kolben bleibt stehen). Aufgrund der Wärmezufuhr steigen Druck und Temperatur an. Die der Luft zugeführte Arbeit und zugeführte Wärme werden dem Abschnitt isochore Zustandsänderung entnommen.

Methode

$Q_{23} = U_3 - U_2 =  m \; c_{vm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$

$W_{t23}^{rev} = m \; R_i \; (T_3 - T_2)$    


Zustandsänderung ($3 \to 4$): Isentrope Expansion

Der Kolben wird nun nicht mehr fixiert. Daraufhin vergrößert sich das Volumen des Luft (aufgrund des hohen Drucks). Die Temperatur und der Druck sinken daraufhin. Aufgrund der isentropen Zustandsänderung kann keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht werden. Bei der Expansion der Luft wird Arbeit von der Luft an den Kolben abgegeben. Die Arbeit die abgeführt wird ergibt sich aus dem Abschnitt isentrope Zustandsänderung:

Methode

$W_{t34}^{rev} = m \; c_{pm}|_{T_3}^{T_4} (T_4 - T_3)$.


Zustandsänderung
 ($4 \to 1$): Isochore Wärmeabfuhr

Der Luft wird nun von außen Wärme $Q_{41}$ entzogen (ersetzt das Abstoßen der Abgase und Ansaugen des frischen Gemisches). Dabei wird das Volumen konstant gehalten (Kolben bleibt stehen). Aufgrund der Wärmeabfuhr sinken Druck und Temperatur. Die der Luft abgeführten Arbeit und abgeführten Wärme werden dem Abschnitt isochore Zustandsänderung entnommen.

Methode

$Q_{41} = U_1 - U_4 =  m \; c_{vm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)$     

$W_{t41}^{rev} = m \; R_i \; (T_1 - T_4)$    

Nutzarbeit des Otto-Prozesses

Die Nutzarbeit des Otto-Prozess berechnet sich durch:

Methode

$W_{O} = \sum W_t^{rev} = -\sum Q$.

Es kann zur Berechnung der Nutzarbeit sowohl die Summe aus technischer reversibler Arbeit als auch die negative Summe aus der Wärme verwendet werden (wie in den vorherigen Abschnitten bereits gezeigt wurde). Da das Ergebnis dasselbe ist, die Berechnung über die Wärme aber meist knapper ausfällt, wird hier lediglich die Berechnung über die Wärme aufgezeigt.

$W_{O} = -\sum Q$.

$|W_O| = -W_O = \sum Q = Q_{23} + Q_{41} $

$= m \; c_{vm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2) + m \; c_{vm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)$


Es wird von einer konstanten spezifischen Wärmekapazität $c_{vm}$ ausgegangen:

Methode

$|W_O| = -W_O = m \; c_{vm} (T_1 - T_2 + T_3 - T_4)$      Nutzarbeit

Thermischer Wirkungsgrad des Otto-Prozesses

Es handelt sich hierbei um einen rechtslaufenden Kreisprozess. Die zugeführte Wärme ist demnach größer als die abgeführte Wärme. Die Summe ergibt also einen Überschuss an zugeführter Wärme (=Nutzwärme). Dieser Überschuss wird genutzt um Arbeit zu erzeugen. Die zugeführte Wärme wird also in Arbeit umgewandelt. Der thermische Wirkungsgrad setzt nun diese zugeführte Nutzwärme ins Verhältnis zur gesamten zugeführten Wärme:

$\eta_{O} = \frac{|W_{O}|}{Q_{23}} = \frac{ m \; c_{vm} (T_1 - T_2 + T_3 - T_4)}{ m \; c_{vm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)}$

Wobei wieder $c_{vm} = const$ gilt:

$\eta_{O} = \frac{|W_{O}|}{Q_{23}} = \frac{ m \; c_{vm} (T_1 - T_2 + T_3 - T_4)}{ m \; c_{vm} (T_3 - T_2)}$.

$\eta_{O} = \frac{|W_{O}|}{Q_{23}} = \frac{(T_3 - T_2 + T_1 - T_4)}{(T_3 - T_2)}$

Methode

$\eta_{O} = \frac{|W_{O}|}{Q_{23}} = 1 + \frac{(T_1 - T_4)}{(T_3 - T_2)}$   Thermischer Wirkungsgrad

Es gilt aufgrund der isentropen Zustandsänderung folgender Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur:

$(\frac{V_1}{V_2})^{\kappa -1} = \frac{T_2}{T_1}$

$(\frac{V_3}{V_4})^{\kappa -1} = \frac{T_4}{T_3}$


Es gilt: $V_1 = V_4$ und $V_2 = V_3$:

$(\frac{V_1}{V_2})^{\kappa -1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}$

Umstellen nach $T_4$ ergibt:

$T_4 = T_3 \frac{T_1}{T_2}$

Einsetzen in die obige Formel ergibt einen vereinfachten thermischen Wirkungsgrad:

Methode

$\eta_{O} = 1 - \frac{(T_1)}{(T_2)} = 1 - \frac{1}{\epsilon^{\kappa - 1}}$       Thermischer Wirkungsgrad

mit

$\epsilon = \frac{V_1}{V_2}$  Verdichtungsverhältnis

Exergetischer Wirkungsgrad des Otto-Prozesses

Die Exergie der Wärme ist derjenige Teil der zugeführten Wärme, welche von dem Kreisprozess in Arbeit umgewandelt werden kann.

Der exergetische Wirkungsgrad des Otto-Prozesses gibt an, wie viel von der Exergie der zugeführten Wärme $E_{Q_{zu}}$ in mechanische Arbeit bzw. Nutzarbeit $W_{O}$ umgewandelt wird:

Methode

$\zeta_{O} = \frac{|W_{O}|}{E_{Q_{23}}}$

Dabei ist die Exergie der Wärme (siehe Abschnitt Exergie und Anergie: Wärme):

$E_{Q_{23}} = Q_{23} - T_b (S_3 - S_2)$.

Bei Betrachtung des Abschnittes isochore Zustandsänderung ergibt sich:

$Q_{23} = m \; c_{vm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$,

$S_3 - S_2 = m \; c_{vm}|_{T_2}^{T_3} \; \ln{\frac{T_3}{T_2}}$ .

Mit $c_{vm} = const$,

sowie

$T_4 = T_3 \frac{T_1}{T_2}$  (siehe Umformungen beim thermischen Wirkungsgrad), ergibt den exergetischen Wirkungsgrad:

Methode

$\zeta_{O} = \frac{T_3 - T_2 + T_4 - T_1}{T_3 - T_2 + T_b \ln(\frac{T_3}{T_2})}$       Exergetischer Wirkungsgrad

Arbeitsverhältnis des Otto-Prozesses

Das Arbeitsverhältnis des Otto-Prozesses setzt die Nutzarbeit $W_O$ (die tatsächlich abgeführte Arbeit $\rightarrow$ Summe aus zugeführter und abgeführter Arbeit) mit der insgesamt abgeführten technischen reversiblen Arbeit $W_{t34}^{rev} + W_{t41}^{rev}$ eines reversiblen Prozesses ins Verhältnis. Das Arbeitsverältnis vergleicht also den Einfluss von Dissipationsarbeit bei einem irreversiblen Prozess mit einem reversiblen Prozess ($\sum W_t^{rev} (-)$). Je mehr dissipiert wird, desto geringer wird die Nutzarbeit $W_O$ und desto geringer wird das Arbeitsverhältnis $r_O$.

$r_O = \frac{W_O}{W_{t34}^{rev} + W_{t41}^{rev}}$.

Mit $c_{pm}$ konstant und $R_i = c_{pm} - c_{vm}$ gilt dann:

$r_O = \frac{-m \; c_{vm} (T_3 - T_2 + T_4 - T_1)}{m \; c_{pm} (T_4 - T_3) + m \; (c_{pm} - c_{vm}) \; (T_1 - T_4)}$.

$r_O = \frac{-m \; c_{vm} (T_3 - T_2 + T_4 - T_1)}{m \; c_{pm} (T_4 - T_3) + m \; c_{pm} \; (T_1 - T_4) - m c_{vm} (T_1 - T_4)}$.

Es gilt $c_{pm} = \kappa c_{vm}$:

$r_O = \frac{-m \; c_{vm} (T_3 - T_2 + T_4 - T_1)}{m \; \kappa c_{vm} (T_4 - T_3) + m \;\kappa c_{vm} \; (T_1 - T_4) - m c_{vm} (T_1 - T_4)}$.

$r_O = \frac{-(T_3 - T_2 + T_4 - T_1)}{\kappa (T_4 - T_3) + \kappa  \; (T_1 - T_4) - (T_1 - T_4)}$.

$r_O = \frac{-(T_3 - T_2 + T_4 - T_1)}{\kappa (T_1 - T_3) - (T_1 - T_4)}$.

Methode

$r_O = \frac{(T_3 - T_2 + T_4 - T_1)}{\kappa (T_3 - T_1) - (T_4 - T_1)}$           Arbeitsverhältnis