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Thermodynamik

Stirling-Prozess

In diesem Abschnitt wird der Stirling-KreisProzess aufgezeigt werden, welcher als Vergleichsprozess für den Heißgasmotor dienen soll. Der Stirling-Motor wurde 1816 von dem Geistlichen R-Stirling entwickelt ohne tiefergehenden Kenntnisse über die Thermodynamik zu besitzen. Verwirklicht wird der Stirling-Prozess durch eine Maschine mit zwei Kolben bestehend aus einem Verdrängerkolben und einem Arbeitskolben. Es handelt sich um einen rechtslaufenden Prozess, bei welchem mehr Wärme zugeführt als abgeführt wird und dieser Überschuss an zugeführter Wärme in Arbeit umgewandelt werden kann.

Die nachstehende Grafik zeigt schematisch die Vorgehensweise bei einem Stirling-Motor:

Stirling-Kreisprozess
Schematische Darstellung des Stirling-Kreisprozesses

Der Stirling-Prozess besteht aus zwei isothermen und zwei isochoren Zustandsänderungen. Die Vorgehensweise wird im Weiteren betrachtet, wobei das p,V-Diagramm und das T,S-Diagramm hinzugezogen werden.

Stirling-Prozess im p,V-Diagramm
Stirling-Prozess im p,V-Diagramm
Stirling-Prozess im T,S-Diagramm
Stirling-Prozess im T,S-Diagramm

Vorgehensweise beim Stirling-Prozess

Zustandsänderung ($1 \to 2$): Isotherme Kompression

Das Gas wird isotherm komprimiert ($T_I = const$), indem der Arbeitskolben nach oben gedrückt wird. Daraus folgt eine Volumenverkleinerung und eine Steigerung des Drucks. Normalerweise würde auch die Temperatur steigen, durch die Wärmeabfuhr $Q_{12}$ nach außen wird die Temperatur aber konstant gehalten (siehe T,S-Diagramm). Dem Gas wird Arbeit $W_{t12}^{rev}$ zugeführt. Die Formeln ergeben sich aus dem Abschnitt isotherme Zustandsänderung:

Methode

$W_{t12}^{rev} = m \; R_i \; T_I \; \ln(\frac{V_1}{V_2})$.

$Q_{12} = -W_{t12}^{rev} = m \; R_i \; T_I \; \ln(\frac{V_2}{V_1})$.


Zustandsänderung
 ($2 \to 3$): Isochore Wärmezufuhr

Das Gas wird mittels innerer Wärmezufuhr $Q_{23}$ erhitzt. Die Wärme wird von dem Verdrängerkolben an das Gas abgegeben, indem sich dieser Verdrängerkolben nach unten bewegt. Der Verdrängerkolben wurde vorher erhitzt (Zustand 4-1). Der Arbeitskolben hingegen bleibt stehen, da das Volumen konstant bleibt (isochor). Aufgrund der Wärmezufuhr steigen der Druck und die Temperatur (von $T_I$ auf $T_{II}$) an. Die Formeln ergeben sich aus dem Abschnitt isochore Zustandsänderung:

$W_{t23}^{rev} = m \; R_i \; (T_3 - T_2)$

$Q_{23} = U_3 - U_2 =  m \; c_{vm}|_{T_2}^{T_3} (T_3 - T_2)$  
    

Es gilt: 

$T_2 = T_I$ und $T_3 = T_{II}$

Methode

$W_{t23}^{rev} = m \; R_i \; (T_{II} - T_I)$

$Q_{23} = U_3 - U_2 =  m \; c_{vm}|_{T_I}^{T_{II}} (T_{II} - T_I)$  


Zustandsänderung
 ($3 \to 4$): Isotherme Expansion

Der Arbeitskolben wird nun nicht weiter fixiert. Aufgrund der Erwärmung durch den Verdrängerkolben (2-3) dehnt sich das Gas nun aus, d.h. der Arbeitskolben fährt nach unten (der Verdrängerkolben fährt mit nach unten). Das Gas gibt dabei die Arbeit $W_{t34}^{rev}$ ab. Das Volumen vergrößert sich und der Druck sinkt. Es würde auch die Temperatur sinken, allerdings wird diese konstant gehalten ($T_{II} = const.$), indem dem Gas von außen Wärme $Q_{34}$ zugeführt wird. 

$W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_3}{V_4})$.

$Q_{34} = -W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_4}{V_3})$.

 
Es gilt:

$V_1 = V_4$ und $V_2 = V_3$

Methode

$W_{t34}^{rev} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_2}{V_1})$.

$Q_{34} = m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_1}{V_2})$.


Zustandsänderung
 ($4 \to 1$): Isochore Wärmeabfuhr

Das Gas wird mittels innerer Wärmeabfuhr $Q_{41}$ abgekühlt. Die Wärme wird von dem Gas an den Verdrängerkolben abgegeben, indem sich dieser Verdrängerkolben nach oben bewegt. Der Verdrängerkolben wird in diesem Zustand also erhitzt. Diese Wärme gibt der Verdängerkolben im Zustand 2-3 wieder an das Gas ab ($Q_{23} = |Q_{41}|$). Der Arbeitskolben hingegen bleibt stehen, da das Volumen konstant bleibt (isochor). Aufgrund der Wärmeabfuhr sinken Druck und Temperatur. Die Formeln ergeben sich aus dem Abschnitt isochore Zustandsänderung:

$W_{t41}^{rev} = m \; R_i \; (T_1 - T_4)$

$Q_{41} = U_1 - U_4 =  m \; c_{vm}|_{T_4}^{T_1} (T_1 - T_4)$  
    

Es gilt: 

$T_1 = T_I$ und $T_4 = T_{II}$

Methode

$W_{t41}^{rev} = m \; R_i \; (T_I - T_{II})$

$Q_{41} = U_1 - U_4 =  m \; c_{vm}|_{T_{II}}^{T_I} (T_I - T_{II})$  

Nutzarbeit des Stirling-Prozesses

Die Nutzarbeit des Stirling-Prozess berechnet sich durch:

Methode

$W_{st} = \sum W_t^{rev} = -\sum Q$.

Es kann zur Berechnung der Nutzarbeit sowohl die Summe aus technischer reversibler Arbeit als auch die negative Summe aus der Wärme verwendet werden (wie in den vorherigen Abschnitten bereits gezeigt wurde). Da das Ergebnis dasselbe ist, die Berechnung über die Wärme aber meist knapper ausfällt, wird hier lediglich die Berechnung über die Wärme aufgezeigt.

$W_{st} = -\sum Q$.

$|W_{st}| = -W_{st} = \sum Q = Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} + Q_{41}$.

Die innere Wärmezufuhr und -abfuhr hebt sich auf:

$Q_{23} = |Q_{41}| \; \; \rightarrow \; Q_{23} + Q_{41} = 0$.

$Q_{23} = m \; c_{vm}|_{T_I}^{T_{II}} (T_{II} - T_I)$  

$Q_{41} = m \; c_{vm}|_{T_{II}}^{T_I} (T_I - T_{II}) = - m \; c_{vm}|_{T_{II}}^{T_I} (T_{II} - T_I)$.

Es verbleibt also:

$|W_{st}| = -W_{st} = \sum Q = Q_{12}  + Q_{34} $.

$|W_{st} = -W_{st} = m \; R_i \; T_I \; \ln(\frac{V_2}{V_1}) + m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_1}{V_2})$

$|W_{st}| = -W_{st} = -m \; R_i \; T_I \; \ln(\frac{V_1}{V_2}) + m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_1}{V_2})$

Methode

$|W_{st}| = -W_{st} = m \; R_i \; (T_{II} - T_I) \; \ln(\frac{V_1}{V_2})$

Thermischer Wirkungsgrad des Stirling-Prozesses

Es handelt sich hierbei um einen rechtslaufenden Kreisprozess. Die zugeführte Wärme ist demnach größer als die abgeführte Wärme. Die Summe ergibt also einen Überschuss an zugeführter Wärme. Dieser Überschuss wird genutzt um Arbeit zu erzeugen. Die zugeführte Wärme wird also in Arbeit umgewandelt. Der thermische Wirkungsgrad setzt nun diese zugeführte Nutzwärme ins Verhältnis zur gesamten zugeführten Wärme:

$\eta_{st} = \frac{|W_{st}|}{Q_{34}} = \frac{ m \; R_i \; (T_{II} - T_I) \; \ln(\frac{V_1}{V_2})}{m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_1}{V_2})}$

Es wird hier nicht die zugeführte und abgeführte Wärme des Verdrängerkolbens betrachtet, da diese sich gegenseitig aufhebt.

Methode

$\eta_{st} = 1 - \frac{T_{I}}{T_{II}}$

Der thermische Wirkungsgrad des Stirling-Prozesses entspricht dem thermischen Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses (und auch des Ericsson-Prozesses). Der thermische Wirkungsgrad des Carnot-Prozess stellt den bestmöglichen Wirkungsgrad dar. Die Erkenntnisse können dem Abschnitt Erkenntnisse aus dem Carnot-Prozess entnommen werden.

Der exergetische Wirkungsgrad des Stirling-Prozesses

Die Exergie der Wärme ist derjenige Teil der zugeführten Wärme, welche von dem Kreisprozess in Arbeit umgewandelt werden kann.

Der exergetische Wirkungsgrad des Stirling-Prozesses gibt an, wie viel von der Exergie der zugeführten Wärme $E_{Q_{zu}}$ in mechanische Arbeit bzw. Nutzarbeit $W_{st}$ umgewandelt wird:

Methode

$\zeta_{st} = \frac{|W_{st}|}{E_{Q_{34}}}$

Zusammengefasst ergibt sich:

Methode

$\zeta_{st} = \frac{T_{II} - T_I}{T_{II} - T_b}$   exergetischer Wirkungsgrad

Die Herleitung der obigen Formel kann dem Abschnitt Ericsson-Prozess entnommen werden.

Arbeitsverhältnis des Stirling-Prozesses

Das Arbeitsverhältnis des Stirling-Prozesses setzt die Nutzarbeit $W_e$ (die tatsächlich abgeführte Arbeit $\rightarrow$ Summe aus zugeführter und abgeführter Arbeit) mit der insgesamt abgeführten technischen reversiblen Arbeit $W_{t34}^{rev} + W_{t41}^{rev}$ ins Verhältnis. Das Arbeitsverältnis vergleicht also den Einfluss von Dissipationsarbeit bei einem irreversiblen Prozess mit einem reversiblen Prozess (technische reversible Arbeit). Je mehr dissipiert wird, desto geringer wird die Nutzarbeit und desto geringer wird das Arbeitsverhältnis.

$r_{st} = \frac{W_{st}}{W_{t34}^{rev} + W_{t41}^{rev}} = \frac{m \; R_i \; (T_{II} - T_I) \; \ln(\frac{V_1}{V_2})}{m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_2}{V_1}) + m \; R_i \; (T_I - T_{II})}$.

$r_{st} = \frac{m \; R_i \; (T_{II} - T_I) \; \ln(\frac{V_1}{V_2})}{-m \; R_i \; T_{II} \; \ln(\frac{V_1}{V_2}) + m \; R_i \; (T_I - T_{II})}$.

Methode

$r_{st} = \frac{1}{\frac{1}{\eta_{st}} + \frac{1}{\ln \epsilon}}$   Arbeitsverhältnis 

mit

$\eta_{st} = 1 - \frac{T_{I}}{T_{II}}$

$\epsilon = \frac{V_1}{V_2}$   Verdichtungsverhältnis