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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Anwendungsbeispiel: Berechnung der Wärmeübergangszahl (turbulente Strömung)

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Anwendungsbeispiel: Berechnung der Wärmeübergangszahl (turbulente Strömung)

Beispiel

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Gegeben seien die folgenden Daten für ein Rohr mit Innendurchmesser von $d_i = 10 mm$ und Länge $l = 1m$, durch welches unterschiedliche Flüssigkeiten strömen. Die Flüssigkeiten sollen die Eintrittstemperatur von $T_{ein} = 20°C$ aufweisen und die Austrittstemperatur von $T_{aus} = 60°C$. Die Rohrwand besitzt die Temperatur von $T_w = 100°C$. 

Die Stoffwerte für Wasser und Luft für eine mittlere Temperatur von $T_m = \frac{20°C + 60°C}{2} = 40°C$ sind wie folgt:

Wasser: $w = 5 \frac{m}{s}$, $\nu = 0,658 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}$, $\lambda = 0,628 \frac{W}{m \cdot K}$, $Pr = 4,35$, $Pr_w = 1,75$

Luft (1 bar):  $w = 20 \frac{m}{s}$, $\nu = 16,97 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}$, $\lambda = 0,0271 \frac{W}{m \cdot K}$, $Pr = 0,704$

Die Stoffwerte von Wasser und Luft wurden für eine Temperatur von 40°C Tabellenwerken entnommen. Für das Fuid (Wasser) muss zusätzlich die Prandtl-Zahl $P_w$ für die Wandtemperatur von $T_w = 100°C$ herangezogen werden, um die Richtung des Wärmestroms innerhalb der Gleichung zu berücksichtigen.

Berechnen Sie die Wärmeübergangszahlen!

Es wird zunächst die Reynolds-Zahl bestimmt um herauszufinden, welche Strömung vorliegt:

Wasser: $Re_{d_i} = \frac{w \cdot d_i}{\nu} = \frac{5 \frac{m}{s} \cdot 0,01 m}{0,658 10^{-6} \frac{m^2}{s}} = 75.987,84$


Luft: $Re_{d_i} = \frac{20 \frac{m}{s} \cdot 0,01 m}{16,97 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}} = 11.785,50$

Beide Reynolds-Zahlen liegen über $Re > 10^4$. Das bedeutet es liegt für beide Fälle eine voll ausgebildete turbulente Strömung vor. Es wird die folgenden Formel zur Berechnung der Nußelt-Zahl herangezogen:

Methode

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$Nu_{d_i, turb} = \large{\frac{\xi}{8} \cdot \frac{Re_{d_i} \cdot Pr}{1 + 12,7 \cdot \sqrt{\frac{\xi}{8}} \cdot (Pr^{2/3} - 1)}}  (1 + (\frac{d_i}{l})^{2/3}) \cdot f_1$      Gnielinski-Formel


mit

$\xi = (1,8 \cdot lg (Re_{d_i}) - 1,5)^{-2}$

Flüssigkeiten:   $f_1 = (\frac{Pr_m}{Pr_w})^{0,11}$

Gase:   $f_1 = (\frac{T_m}{T_w})^{n}$

Bestimmung der Wärmeübergangszahl für Wasser

$\xi = (1,8 \cdot lg (75.987,84) - 1,5)^{-2} \approx 0,0188$

$f_1 =  (\frac{4,35}{1,75})^{0,11} \approx 1,105$

Werte einsetzen die die Gnielinski-Formel:

$Nu_{d_i, turb} = \large{\frac{0,0188}{8} \cdot \frac{75.987,84 \; \cdot \; 4,35}{1 + 12,7 \cdot \sqrt{\frac{0,0188}{8}} \cdot (4,35^{2/3} - 1)}} \cdot 1,046 \cdot 1,105$ 

$Nu_{d_i, turb} = 443,39$

Die Wärmeübergangszahl kann bestimmt werden zu:

$\alpha = \frac{Nu_{d_i, turb} \cdot \lambda}{d_i} = \frac{443,39 \cdot 0,628 \frac{W}{m \cdot K} }{0,01 m} = 27844,89 \frac{W}{m^2 \cdot K}$

Bestimmung der Wärmeübergangszahl für Luft

$\xi = (1,8 \cdot lg (11.785,50) - 1,5)^{-2} \approx 0,029$

$f_1 = (\frac{313,15 K}{363,15 K})^{0,45} \approx 0,936$

Für $T$ muss die mittlere Temperatur herangezogen werden (in Kelvin). Es gilt $\frac{T_m}{T_w} = 0,86$. Damit wird für $n = 0,45$ gewählt (Heizen der Luft).


Werte einsetzen die die Gnielinski-Formel:

$Nu_{d_i, turb} = \large{\frac{0,029}{8} \cdot \frac{11.785,50 \; \cdot \; 0,704}{1 + 12,7 \cdot \sqrt{\frac{0,029}{8}} \cdot (0,704^{2/3} - 1)}} \cdot 1,046 \cdot 0,936$ 

$Nu_{d_i, turb} = 35,04$

Die Wärmeübergangszahl kann bestimmt werden zu:

$\alpha = \frac{Nu_{turb, d_i} \cdot \lambda}{d_i} = \frac{35,04 \cdot 0,0271 \frac{W}{m \cdot K}}{0,01 m} = 94,96 \frac{W}{m^2 \cdot K}$