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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmeübertrager

In einem Wärmeübertrager wird Wärme von einem wärmeren Fluid an ein kälteres Fluid übertragen. Man unterscheidet drei Arten von Wärmeübertragern:

Regeneratoren

Es handelt sich bei Regeneratoren um ein einziges System, durch welches abwechselnd zwei Fluide unterschiedlicher Temperatur strömen. Es strömt zunächst das Fluid mit höherer Temperatur durch das System. Diese Wärme wird von dem Regenerator gespeichert. Danach fließt das Fluid mit niedrigerer Temperatur durch das System und der Regenerator überträgt die gespeicherte Wärme an dieses Fluid. 

Rekuperatoren (hier behandelt)

Hierbei handelt es sich um zwei Systeme die durch eine wärmedurchlässige Wand voneinander getrennt sind. Das Fluid mit höherer Temperatur gibt dann Wärme (durch die Wand) an das Fluid mit der niedrigeren Temperatur ab.

Mischwärmeübertrager

Die Wärmeübertragung vom Fluid höherer Temperatur zum Fluid niedrigerer Temperatur erfolgt durch die unmittelbare Berührung beider Fluide.

Wärmestrom und mittlere Temperaturdifferenz in Wärmeübertragern

Wärmeübertrager Rekuperator

Im Weiteren wird bei der Verwendung des Begriffs Wärmeübertager die Wärmeübertragung in einem Rekuperator gemeint. Es handelt sich um ein Rohr, welches eine wärmedurchlässige Rohrwand (innen) besitzt. In den oberen Teil des Rohrs strömt ein Fluid 1 mit der Temperatur $T_1'$ ein. In unteren Teil des Rohrs strömt ein Fluid 2 mit der Temperatur $T_2'$ ein. Dabei soll gelten, dass $T_1' < T_2'$.Die Temperatur des Fluids 2 ist also höher, als die Temperatur des Fluids 1. Der Wärmestrom $\dot{Q}$ fließt demnach von Fluid 2 zu Fluid 1. Das hat zur Folge, dass das Fluid 1 sich auf die Temperatur $T_1''$ erhöht und das Fluid 2 auf die Temperatur $T_2''$ sinkt. Es gilt demnach:

Methode

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$T_1' < T_1''$   Die Temperatur von Fluid 1 steigt.

$T_2' > T_2''$   Die Temperatur von Fluid 2 sinkt.

wobei gelten muss: $T_1' < T_2'$

Wärmestrom und mittlere Temperturdifferenz in Wärmeübertragern

Der vom wärmeren Fluid 2 an das kältere Fluid 1 abgegebene Wärmestrom in Wärmeübertragern wird bestimmt zu (auf die Herleitung sei verzichtet):

Methode

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$\dot{Q}_{21} = U \cdot A \cdot \triangle T_m$


Dabei ist $\triangle T_m$ die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz. Diese wird bestimmt mit:

Methode

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$\triangle T_m = \frac{\triangle T_{max} - \triangle T_{min}}{ln(\frac{\triangle T_{max}}{\triangle T_{min}})}$       für   $\triangle T_{max} > \triangle T_{min}$

Es müssen die Temperaturdifferenzen am Rohreintritt und am Rohraustritt bestimmt werden. Die größere Temperaturdifferenz wird dann als $\triangle T_{max}$ und die kleinere als $\triangle T_{min}$ bezeichnet.

Sind die Temperaturdifferenzen am Ein- und Austritt gleich groß ist die obige Gleichung unbestimmt. Dann wird mit der arithmetischen Temperaturdifferenz gerechnet:

Methode

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$\triangle T_m = \frac{\triangle T_{max} + \triangle T_{min}}{2}$    für   $\triangle T_{max} = \triangle T_{min}$

Gegenstrom, Gleichstrom, Kreustrom

Die Fluide können in Wärmeübertagern im Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom strömen. Dies sei in der folgenden Grafik veranschaulicht:

Wärmeübertrager Gleichstrom, Kreuzstrom, Gegenstrom

Die Temperaturdifferenzen werden beim Gleichstrom so gebildet, dass der Rohreintritt die Temperaturen $T_1'$ und $T_2'$ berücksichtigt und der Rohraustritt die Temperaturen $T_1''$ und $T_2''$. Beim Gegenstrom hingegen werden die Temperaturen für den Rohreintritt $T_1'$ und $T_2''$ berücksichtigt und für den Rohraustritt die Temperaturen $T_1''$ und $T_2'$. Für den Kreuzstrom werden die Temperaturdifferenzen wie beim Gegenstrom bestimmt, das Ergebnis muss jedoch zusätzlich mit einem Korrekturfaktor beaufschlagt werden.

Auswirkungen der Wärmeübertragung

Die Wärmezufuhr bzw. die Wärmeabfuhr führt zur Erhöhung bzw. zur Absenkung der Temperatur des betrachteten Fluids. Die Temperatur des Fluids 1 erhöht sich demnach und die Temperatur des Fluids 2 nimmt ab. Da die Änderung der Wärmemenge $Q$ näherungsweise proportional zur Temperaturänderung $\triangle T$ und proportional zur Masse $m$ des Fluids ist, kann man diese bestimmen, wenn die Eintritts- und Austrittstemperatur eines Fluids bekannt ist:

Methode

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$dQ = c_p \cdot m \cdot dT$

Dabei ist $c_p$ die spezfische Wärmekapazität bei konstantem Druck des Fluids.


Die Änderung des Wärmestroms für das betrachtete Fluid ergibt sich dann zu:

Methode

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$d \dot{Q} = c_p \cdot \dot{m} \cdot dT$

Betrachtet werden sollen die Fluide in der obigen Grafik. Dabei ist $T_1 < T_2$. Das bedeutet, der Wärmestrom fließt von Fluid 2 auf das Fluid 1. Die Änderung des Wärmestroms von Fluid 1 und Fluid 2 ist genau so groß, wie der Wärmestrom der zwischen den beiden Fluiden übertragen wird, wenn das System keinen Wärmestrom nach außen abgibt (adiabate Außenwände). Die Änderung des Wärmestroms von Fluid 1 ist positiv und von Fluid 2 negativ (Wärmestrom geht von Fluid 2 auf Fluid 1 über):

$d \dot{Q}_1 = c_p \cdot \dot{m} \cdot dT$

$d \dot{Q}_2 = -c_p \cdot \dot{m} \cdot dT$

Integralbildung:

$\int d \dot{Q}_1 = c_p \cdot \dot{m} \cdot \int_{T_1'}^{T_1''} dT$

$\int d \dot{Q}_2 = -c_p \cdot \dot{m} \cdot \int_{T_2'}^{T_2''} dT$


Auflösen des Intergals führt zu den Änderungen der Wärmeströme der Fluide:

Methode

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$\dot{Q}_1 = c_p \cdot \dot{m} \cdot (T_1'' - T_1')$

$\dot{Q}_2 = -c_p \cdot \dot{m} \cdot (T_2'' - T_2')$

$\rightarrow \dot{Q}_1 = - \dot{Q_2}$                           für   $T_1 < T_2$