Wärmeleitung in einem Feststoff

Dieses Kapitel beschäftigt sich zunächst mit der Wärmeleitung in einem Feststoff. Dabei handelt es sich bei der Wärmeleitung in einem Feststoff zum Beispiel um die Wärmeleitung durch eine ebene Wand, durch eine Rohrwand (Hohlyzinder) oder durch eine Hohlkugelwand. Die in den folgenden Abschnitten aufgeführten Zusammenhänge können ebenfalls für die Wärmeleitung zwischen zwei ruhenden Flüssigkeiten (bzw. Gase) verwendet werden.

Die Wärmeleitung durch einen Feststoff soll zunächst anhand der ebenen Wand anschaulich beschrieben werden. In den folgenden Abschnitten erfolgt dann die formelle Darstellung und Berechnung des Wärmestroms durch eine ebene Wand, einen Hohlzylinder und eine Hohlkugel. 

Man betrachte nun eine Hauswand an einem Dezemberabend. Im Inneren des Hauses besitzt die Wand aufgrund der Heizung eine Temperatur von 18°C. Die Außenwand hingegen besitzt eine Temperatur (aufgrund der kalten Jahreszeit) von 2°C. Nach dem 2. Satz der Thermodynamik fließt Wärme immer von dem Ort höherer Temperatur zum Ort niedriger Temperatur.

Das bedeutet, dass die Wärme von der Innenwand zur Außenwand fließt. Die Wärme fließt also durch die Wand aufgrund von der herrschenden Temperaturdifferenz. Ohne eine Temperaturdifferenz fließt demnach auch keine Wärme. Bei der ebenen Wand, ist es nun so, dass sich zwischen der Innenwand und der Außenwand eine lineare Temperaturdifferenz ergibt, d.h. eine lineare negative Steigung, wenn man die $x$-Achse so legt, dass diese in Richtung der fließenden Wärme gelegt wird:

Die Wärme $Q$ fließt durch die Wand. Wie groß diese Wärmemenge ist, die durch die Wand gelangt hängt von dem Material der Wand ab. Gerade bei einer Hauswand möchte man eine geringe Wärmeleitung erreichen, d.h. es soll möglichst wenig Wärme von der Innenwand zur Außenwand gelangen, damit die Heizkosten nicht explodieren. So versucht man also mittels Dämmmaterial eine möglichst geringe Wärmeleitung zu erhalten. Jedes Material besitzt eine Wärmeleitfähigkeit $\lambda$. Diese kann Tabellenwerken entnommen werden. Je größer die Wärmeleitfähigkeit eines Materials, desto schlechter die Dämmeigenschaft und desto mehr Wärme geht durch die Wand. Das bedeutet also in Bezug auf die Heizkosten, dass die Hauswand aus einem Material bestehen sollte, welches eine geringe Wärmeleitfähigkeit aufweist. Es ist natürlich auch möglich eine Wand mit einer hohen Wärmeleitfähigkeit mittels Dämmmaterial zusätzlich zu bestücken, so dass die Wärmeleitfähigkeit reduziert wird. Die Wärme muss dann durch mehrere Schichten gelangen und wird mit einem Dämmmaterial mit geringer Wärmeleitfähigkeit daran gehindert. Neben der Wärmeleitfähigkeit $\lambda$ ist zusätzlich die Dicke $s$ der Wand von Bedeutung. So wird in den folgenden Abschnitten für die Berechnung der Wärmemenge immer der Quotient $\frac{\lambda}{s}$ von Bedeutung sein. Je kleiner der Quotient, desto schlechter ist die Wärmeleitung durch die Wand und desto besser ist demnach die Dämmeigenschaft. In Bezug auf die Heizkosten ist demnach ein kleiner Quotient wünschenswert. Man sieht auch deutlich, dass mit zunehmender Dicke $s$ (bei konstanter Wärmeleitfähigkeit $\lambda$) der Quotient kleiner wird. Das bedeutet also auch, dass bei einer großen Wärmeleitfähigkeit die Dämmung der Wand durch eine zunehmende Dicke der Wand erfolgen kann. 

Konvektiver Wärmeübergang

Es besteht nun auch die Möglichkeit, dass die Wärmeleitung von einem bewegten Fluid auf einen Feststoff erfolgt. Dieser Vorgang wird auch als konvektiver Wärmeübergang oder Konvektion bezeichnet und wird ausführlich im Kapitel 3 (erzwungene Konvektion) und im Kapitel 4 (freie Konvektion) behandelt. In diesem Kapitel wird allerdings bereits die Berechnung des Wärmestroms von einem Fluid auf eine Wand (bzw. umgekehrt) aufgezeigt (wenn konstante Temperaturen gegeben sind). Dabei muss unterschieden werden zwischen einem bewegten Fluid (konvektiver Wärmeübergang) und einem ruhenden Fluid (Wärmeleitung). 

Zum besseren Verständnis, stelle man sich wieder die Hauswand vor. Es werden nun die Innenwand und die Außenwand betrachtet. Das Fluid, welches sich an Innen- und Außenwand befindet, sei Luft. Es ist nun tatsächlich so, dass die Temperatur der Luft vor und hinter den Wänden von den Wandtemperaturen aufgrund einer sogenannten Grenzschicht abweicht. Es herrscht also eine Temperaturdifferenz von Innenluft zur Innenwand und von Außenwand zur Außenluft. Der Wärmestrom fließt also von der Außenwand durch die Grenzschicht an die Außenluft, denn Wärme fließt nur von dem Ort höherer Temperatur zum Ort niedriger Temperatur: 

Bei dem konvektiven Wärmeübergang fließt die Wärme also von einem bewegten Fluid an eine ruhende Wand bzw. von der ruhenden Wand auf das bewegte Fluid durch die sogenannte Grenzschicht. Dabei ist aufgrund der Strömung der Temperaturverlauf von Fluid auf die Wand bzw. umgekehrt nicht mehr linear (mehr zum Temperaturverlauf im Kapitel 3). Bei einem ruhenden Fluid würde sich ebenfalls ein linearer Temperaturverlauf ergeben. Die Wärmeleitung durch die Grenzschicht kann ebenfalls durch einen bestimmten Faktor ausgedrückt werden, der Wärmeübergangszahl $\alpha$. Die Wärmeübergangszahl ist nun keine Materialkonstante mehr, sondern abhängig von der Strömungsgeschwindigkeit bzw. der Art der Strömung sowie von den geometrischen Verhältnissen der betrachteten Wand und der Oberflächenbeschaffenheit der Wand. Es wird deutlich, dass die Berechnung der Wärmeübergangszahl von einer Vielzahl von Faktoren abhängig ist. Die Bestimmung der Wärmeübergangszahl $\alpha$ erfolgt in den Kapiteln 3 und 4 und soll in diesem Kapitel 2 als gegeben angenommen werden.