Fourier'sche Gesetz

Der französische Physiker und Mathematiker John Babtiste Joseph Fourier fand um 1822 heraus, dass die Wärmemenge $Q$, die in einer bestimmten Zeit $\triangle t$ durch eine Wand mit der Dicke $x$ und der Fläche $A$ mit einem Temperaturgefälle mittels der folgenden Formel beschrieben werden kann:

In der folgenden Grafik ist visualiert wie die Wärmemenge $Q$ durch eine adiabte Wand mit zwei unterschiedlichen Oberflächentemperaturen $T_1$ und $T_2$ fließt. Dabei fließt die Wärme vom Ort höherer Temperatur zum Ort niedrigerer Temperatur. Es muss also immer ein Temperaturgefälle vorliegen. In der folgenden Grafik fließt der Wärmestrom von links nach rechts, also vom Ort höherer Temperatur zum Ort niedrigerer Temperatur $T_1 > T_2$.

symbolische Wand eines Rohbaus

Wärmeleitung ebene Wand

Dabei stellt $\frac{dT}{dx}$ das Temperaturgefälle in Richtung des Wärmestroms dar und $\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit des betrachteten Materials der Wand. Die obige Formel enthält ein negatives Vorzeichen, da die Temperatur abfällt und demnach eine negative Steigung vorliegt.

Wärmeleitfähigkeit

Der Koeffizient $\lambda$ wird als Wärmeleitfähigkeit bezeichnet und stellt eine reine Materialgröße dar. Die Einheit ist durch die obige Gleichung definiert und beträgt:

$\frac{W}{m \cdot K}$

Bei der Wärmeleitfähigkeit handelt es sich um eine Funktion in Abhängigkeit von der Temperatur des betrachteten Materials, welche mit steigender Temperatur zunimmt. Da hohe Temperaturgefälle nur in Ausnahmefällen auftreten, kann zur Berechnung der Wärmemenge die mittlere Wärmeleitfähigkeit herangezogen werden. Diese kann bestimmt werden, indem die Wärmeleitfähigkeit der mittleren Temperatur herangezogen wird:

Im folgenden Video wird anhand eines Beispiels gezeigt, wie die mittlere Wärmeleitfähigkeit bestimmt werden kann:

In der folgenden Tabelle sind einige Zahlenwerte für die Wärmeleitfähigkeit von Metallen, Feststoffen, Flüssigkeiten und Gasen angegeben:

Wärmestrom

Der Wärmestrom $\dot{Q}$ ist die pro Zeiteinheit übertragende Wärmemenge ($\frac{dQ}{dt}$). Wird die obige Formel also nach der Zeit $t$ abgeleitet, so ergibt sich der Wärmestrom:

$Q = - \lambda \cdot A \cdot t \cdot \frac{dT}{dx}$ 

Ableitung nach $t$ ergibt den Wärmestrom:

Es wird davon ausgegangen, dass die Temperaturdifferenz nur in $x$-Richtung auftritt und die senkrechten Temperaturen konstant bleiben. 

Wärmestromdichte

Die Wärmestromdichte $\dot{q}$ ist die pro Zeit- und Flächeneinheit übertragene Wärmemenge ($\frac{\dot{Q}}{A}$):

Angenommen es liegt ein Material vor, welches eine temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit aufweist, so erhält man mittels Trennung der Variablen und Integration folgende Wärmestromdichte:

Trennung der Variablen:

$\dot{q} \cdot dx = - \lambda \cdot dT$

Integralbildung:

$\dot{q} \int_{x_1}^{x_2} dx = - \int_{T_1}^{T_2} \lambda (T) \cdot dT$

Einsetzen der mittleren Wärmeleitfähigkeit $\lambda_m = const$:

$\dot{q} \int_{x_1}^{x_2} dx = - \lambda_m \int_{T_1}^{T_2}\ \cdot dT$

Auflösen des Intergals (mit $x_2 - x_1 = s$):

$\dot{q} \cdot s = - \lambda_m (T_2 - T_1)$   

mit $T_1 > T_2$ ergibt sich:

$\dot{q} \cdot s =  \lambda_m (T_1 - T_2)$   

Und demnach gilt für die Wärmestromdichte: