Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt soll die Wärmeleitung durch eine ebene Wand betrachtet werden.
Wie bereits im vorherigen Abschnitt aufgezeigt, ergibt sich der Wärmestrom durch eine ebene Wand zu:
Methode
$\dot{Q} = - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx}$
Die Trennung der Veränderlichen führt zu:
$\dot{Q} \cdot dx = - \lambda \cdot A \cdot dT$
Es wird im Weiteren davon ausgegangen, dass $A = const$ und $\lambda = \lambda_m = const$, demnach gilt:
$\dot{Q} \int_{x_1}^{x_2} dx = - \lambda_m \cdot A \int_{T_1}^{T_2} dT$
Auflösen des Integrals:
$\dot{Q} \cdot (x_2 - x_1) = - \lambda_m \cdot A \cdot (T_2 - T_1)$
mit $x_2 - x_1 = s$ und $T_1 > T_2$ gilt demnach:
Methode
$\dot{Q} = \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2)$
mit
$\lambda_m$ = mittlere Wärmeleitfähigkeit
$A$ = Wandfläche
$T_1$ = maximale Oberflächentemperatur
$T_2$ = minimale Oberflächentemperatur
$T_1 - T_2$ Temperaturdifferenz in [K]
$s$ = Wanddicke
Alternativ kann man natürlich das Minuszeichen stehen lassen, dann müssen die Temperaturen aber wieder vertauscht werden:
$\dot{Q} = -\frac{\lambda}{s} \cdot A \cdot (T_2 - T_1)$
Dies stellt die Gleichung zur Bestimmung des Wärmestroms durch eine ebene Wand dar.
Im Video erklärt euch Jessica nochmal die Herleitung des Wärmestroms durch eine ebene Wand:
In der folgenden Videoreihe zeigen wir euch eine Beispielaufgabe zur Bestimmung des Wärmestroms durch eine ebene Wand:
Wärmestrom durch eine ebene Wand mit mehreren Schichten
Eine Wand kann aus mehreren Schichten mit unterschiedlichen Materialen bestehen. Das bedeutet, dass damit auch unterschiedliche Wärmeleitfäigkeiten $\lambda$ vorliegen.
Angenommen es handelt sich um eine Wand mit 3 Schichten (1-3). Die 3 Wärmeströme ergeben sich zu:
$\dot{Q} = \frac{\lambda_{m,1}}{s_1} \cdot A \cdot (T_1 - T_2) $
$\dot{Q} = \frac{\lambda_{m,2}}{s_2} \cdot A \cdot (T_2 - T_3) $
$\dot{Q} = \frac{\lambda_{m,3}}{s_3} \cdot A \cdot (T_3 - T_4)$
Auflösen nach den Temperaturdifferenzen:
$T_1 - T_2 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_1}{\lambda_{m,1}}$
$T_2 - T_3 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_2}{\lambda_{m,2}}$
$T_3 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_3}{\lambda_{m,3}}$
Addition der Temperaturdifferenzen:
$T_1 - T_2 + T_2 - T_3 + T_3 - T_4 = T_1 - T_4$
Daraus folgt:
$T_1 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_3}{\lambda_{m,3}}$
$T_1 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} ( \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}})$
Die Gleichung nach $\dot{Q}$ auflösen ergibt dann:
Methode
$\Large{\dot{Q} = \frac{(T_1 - T_4) \cdot A}{ \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}}}}$
Beispiel: Wärmestrom durch ebene Wand
Beispiel
Eine 45m² große Hauswand mit einer Innentemperatur von 20°C und einer Außentemperatur von 0°C besteht aus einer Betonwand. Die Wärmeleitfähigkeit von Beton sei gegeben mit $\lambda (10°C ) = 2,1 \frac{W}{m K}$. Die Hauswand sei 25 cm dick.
Bestimmen Sie den Wärmestrom $Q$!
Die Bestimmung des Wärmestroms erfolgt durch:
$\dot{Q} = \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2)$
Einsetzen der Werte führt zu:
$\dot{Q} = \frac{2,1 \frac{W}{m K}}{0,25 m} \cdot 45m^2 \cdot (293,15 - 273,15)K = 7.560 W$
Merke
Es kann natürlich auch die Temperaturdifferenz: (20 - 0) gewählt werden, da die Temperaturdifferenz in °C der in K entspricht. Es muss aber als Formelzeichen K verwendet werden.
Beispiel: Wärmestrom durch mehrere Schichten
Beispiel
Eine 50 m² große Hauswand mit einer Außentemperatur von -5°C und einer Innentemperatur von 18°C besteht aus vier Schichten. Die Schicht 1 besitzt einen Wärmeleitkoeffizienten von $\lambda_1 = 0,9 \frac{W}{m \; K}$, Schicht 2 einen Wärmeleitkoeffizienten von $\lambda_2 = 0,6 \frac{W}{m \; K}$, Schicht 3 einen Wärmeleitkoeffizienten von $\lambda_3 = 0,12 \frac{W}{m \; m}$ und Schicht 4 einen Wärmeleitkoeffizienten $\lambda_4 = 0,3 \frac{W}{m \; K}$. Schicht 1 ist 2 cm, Schicht 2 ist 30 cm, Schicht 3 ist 5 cm und Schicht 4 ist 2 cm dick. Bestimmen Sie den Wärmestrom!
Es wird die folgende Formel herangezogen:
$\dot{Q} = \frac{(T_{max} - T_{min}) \cdot A}{ \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}} + \frac{s_4}{\lambda_{m,4}}}$
Die Formel wurde um die 4. Schicht erweitert.
Einsetzen der Werte:
$\dot{Q} = \frac{(291,15 - 268,15) K \cdot 50 m^2}{ \frac{0,02 m}{0,9 \frac{W}{m \; K}} + \frac{0,3 m}{0,6 \frac{W}{m \; K}} + \frac{0,05 m}{0,12 \frac{W}{m \; K}} + \frac{0,02 m}{0,3 \frac{W}{m \; K}}} $
$\dot{Q} = \frac{1.150 K m^2}{ 1,0056 \frac{m^2 K}{W}} = 1.143,6 W$
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