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In diesem Abschnitt soll nun der gesamte Wärmestrom $\dot{Q}$ durch die beiden Grenzschichten und durch die ebene Wand betrachtet werden. Das bedeutet also die Zusammenfassung der in den vorherigen zwei Abschnitten behandelten Wärmeströme. Dabei dürfen die Wärmeströme nicht miteinander addiert werden. Um die Wärmeströme zusammenzufassen wird die Wärmedurchgangszahl $U$ eingeführt.
Die Wärmedurchgangszahl $U$ (wird auch als $k$ bezeichnet) gibt an, wie groß der Wärmestrom $\dot{Q}$ pro Flächeneinheit $m^2$ und pro Kelvin Temperaturdifferenz ist, welcher durch eine Wand von einem Medium (z.B. Innenluft) auf das andere Medium (z.B. Außenluft) übertragen wird:
Methode
$U = \large{\frac{\dot{Q}}{A \cdot \triangle T}}$.
Die Wärmedurchgangszahl hat die Einheit $\frac{W}{m^2 \cdot K}$. Der Wärmestrom, welcher hier benötigt wird, ist der gesamte Wärmestrom der vom wärmeren Medium 1 auf das kältere Medium 2 durch die ebene Wand übertragen wird (siehe untere Grafik):
Wie in der obigen Grafik ersichtlich, muss der gesamte Wärmestrom $\dot{Q}$ berücksichtigt werden, um die Wärmedurchgangszahl $U$ zu bestimmen.
Bestimmung des gesamten Wärmestroms
Der gesamte Wärmestrom, durch die Grenzschichten und durch ebene Wand ergibt sich dann, indem zunächst die Temperaturdifferenzen miteinander addiert werden:
$T_{Gr,1} - T_1 = \frac{\dot{Q}}{\alpha_1 \cdot A}$
$T_1 - T_2 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s}{\lambda}$
$T_2 - T_{Gr,2} = \frac{\dot{Q}}{\alpha_2 \cdot A}$
Addition der Temperaturdifferenzen der einzelnen Wandschichten und der Grenzschichten:
$T_{GR,1} - T_1 + T_1 - T_2 + T_2 - T_{GR,2} = T_{GR,1} - T_{GR,2}$
Die Addition der rechten Seite führt dann zu:
$T_{GR,1} - T_{GR,2} = \frac{\dot{Q}}{\alpha_1 \cdot A} + \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s}{\lambda_m} + \frac{\dot{Q}}{\alpha_2 \cdot A}$
Auflösen nach $\dot{Q}$ ergibt den gesamten Wärmestrom:
$\dot{Q} = \Large{(\frac{T_{GR,1} - T_{GR,2}}{ \frac{1}{\alpha_1} + \frac{s}{\lambda_m} + \frac{1}{\alpha_2}}}) \cdot A$
Setzt man nun die Wärmeübergangszahl der ebenen Wand ein $\alpha_w = \frac{\lambda_m}{s}$ so ergibt sich:
Methode
$\dot{Q} = \Large{(\frac{T_{GR,1} - T_{GR,2}}{ \frac{1}{\alpha_1} + \frac{1}{\alpha_{w}} + \frac{1}{\alpha_2}}}) \cdot A$
Für die mehrschichte Wand (hier: 3 Schichten ergibt sich) ergibt sich der gesamte Wärmestrom zu:
Methode
$\dot{Q} = \Large{(\frac{T_{GR,1} - T_{GR,2}}{ \frac{1}{\alpha_1} + \frac{1}{\alpha_{w,1}} + \frac{1}{\alpha_{w,2}} + \frac{1}{\alpha_{w,3}} + \frac{1}{\alpha_2}}}) \cdot A$
mit
$\alpha_{w,1} = \frac{\lambda_{m,1}}{s_1}$
$\alpha_{w,2} = \frac{\lambda_{m,2}}{s_2}$
$\alpha_{w,3} = \frac{\lambda_{m,3}}{s_3}$
Wärmedurchgangszahl
Nachdem der Wärmestrom $\dot{Q}$ von dem einen Medium 1 (z.B. Innenluft) zum anderen Medium 2 (z.B. Außenluft) durch die ebene Wand und die Grenzschichten bestimmt worden ist, wird als nächstes die Wärmedurchgangszahl bestimmt:
Methode
$U = \large{\frac{\dot{Q}}{A \cdot \triangle T}}$.
Es wird nun die obige Formel für den Wärmestrom in die Gleichung eingesetzt. Es ergibt sich demnach für die Wärmedurchgangszahl einer ebenen Wand:
Methode
$U = \Large{\frac{1}{\frac{1}{\alpha_1} + \frac{1}{\alpha_{w}} + \frac{1}{\alpha_2}}}$
Für die mehrschichtige ebene Wand (hier: 3 Schichten) ergibt sich dann:
Methode
$U = \Large{\frac{1}{\frac{1}{\alpha_1} + \frac{1}{\alpha_{w,1}} + \frac{1}{\alpha_{w,2}} + \frac{1}{\alpha_{w,3}} + \frac{1}{\alpha_2}}}$
Setzt man nun in die Gleichung für den gesamten Wärmestrom die Wärmeübergangszahl $U$ ein, so ergibt sich der gesamte Wärmestrom durch die Wand und Grenzschichten zu:
Methode
$\dot{Q} =U \cdot A \cdot (T_{GR,1} - T_{GR,2})$
In dem folgenden Video zeigt euch Jessica, wie die obigen Gleichungen hergeleitet werden:
Wandtemperaturen bestimmen
Sind nur die Außentemperaturen $T_{GR,1}$ und $T_{GR,2}$ gegeben und nicht die Wandtemperaturen $T_1$ und $T_2$, so können diese mittels des folgenden Zusammenhangs bestimmt werden:
$\frac{T_{GR,1} - T_1}{T_{GR,1} - T_{GR,2}} = \frac{U}{\alpha_1}$
$\frac{T_1 - T_2}{T_{GR,1} - T_{GR,2}} = \frac{U}{\alpha_w}$
$\frac{T_2 - T_{GR,2}}{T_{GR,1} - T_{GR,2}} = \frac{U}{\alpha_2}$
Im folgenden Video zeigt euch Jessica, wie ihr die Wandtemperaturen bestimmt:
Wärmeübergangszahlen und Wärmedurchgangszahl
Bei unterschiedlichen Wärmeübergangszahlen $\alpha_1$ und $\alpha_2$ der Grenzschichten hat der größere viel weniger Einfluss auf die Wärmedurchgangszahl als der kleinere. Eine Erhöhung des größeren Wärmeübergangskoeffizienten führt zu einer geringeren Erhöhung der Wärmedurchgangszahl als die selbe Erhöhung des kleineren Wärmeübergangskoeffiziente. Soll also der Wärmedurchgang verbessert werden (größere Wärmedurchgangszahl $U$), z.B. in einem Wärmeübertrager, so sollte die Wandseite mit dem kleineren Wärmeübergangskoeffizienten gewählt werden. Die Erhöhnung des Wärmeübergangskoeffizienten und damit des Wärmedurchgangskoeffizienten $U$ (besserer Wärmedurchgang) kann beispielsweise durch eine höhere Strömungsgeschwindigkeit erreicht werden. Eine Erhöhnung der Wärmeleitfähgkeit $\lambda$ der Wand ist nur sinvoll, wenn die Wärmeübergangskoeffizienten auf beiden Wandseiten hoch sind.
Merke
Je größer die Wärmedurchgangszahl $U$, desto besser der Wärmedurchgang.
Soll der Wärmedurchgang hingegen verhindert werden, so kann dies z.B. durch eine zusätzliche Isolierschicht mit kleiner Wärmeleitfähigkeit $\lambda$ erreicht werden.
Merke
Je kleiner die Wärmedurchgangszahl $U$, desto schlechter der Wärmedurchgang durch die Wand.
In dem folgenden Video zeigt euch Jessica ein Beispiel zur Bestimmung des Wärmestroms durch eine ebene Wand unter Berücksichtigung der Grenzschichten:
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