Wärmeübergang an der Oberfläche

In den vorherigen Abschnitten ist davon ausgegangen worden, dass die Wärmeleitung durch die Wände nur in eine Achsenrichtung stattindet (in $x$-Richtung). In diesem Abschnitt soll nun gezeigt werden, wie sich der Temperaturverlauf in $x$-Richtung verändert, wenn zusätzlich noch ein Wärmeübergang an der Oberfläche der Wand auftritt. Diese Problematik tritt häufig bei Stegen, Stützen und Rippen auf.

In der folgenden Grafik ist ein Stab der Länge $l$ mit konstanter Querschnittsfläche $A$ und konstantem Umfang $U$ zu sehen. Der Stab wird an dem linken Ende durch eine Wärmezufuhr auf konstanter Temperatur $T_1$ gehalten. Die Wärme strömt dann entlang der Stabachse (in $x$-Richtung) und wird zusätzlich über die äußere Oberfläche an die Umgebung abgegeben. Die Umgebung besitze die konstante Temperatur $T_u$. Es wird nun ein infinitesimal kleines Stabelement $dx$ betrachtet. Es wird über die Mantelfläche des Stabelements (Umfang mal Breite des Stabelements) der folgende Wärmestrom abgegeben:

Im Weiteren soll nun der gesamte Wärmestrom, welcher in $x$-Richtung durch den Stab verläuft betrachtet werden. Hierbei wird zunächst der Wärmestrom in allgemeiner Form betrachtet:

$\dot{Q} = - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx}$

Der eintretenden Wärmestrom ist:

$\dot{Q}_x = - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx}$

Der austretende Wärmestrom in $x$-Richtung ergibt sich dann (siehe obere Grafik) wie folgt:

$\dot{Q}_{x + dx} = \dot{Q}_x - \frac{d\dot{Q}}{dx} \cdot dx$

Der austretende Wärmestrom ist also gleich dem eintretenden Wärmestrom unter Berücksichtigung des abfließenden Wärmestroms an der Mantelfläche. Dabei wird die Steigung $\frac{d\dot{Q}}{dx}$ und die Schrittweite $dx$ herangezogen um für das Stabelement den abfließenden Wärmestrom zu bestimmen. Der Wärmestrom nimmt nämlich mit zunehmenden $x$ ab, da die Temperatur innerhalb des Stabes langsam abfällt.

Es wird nun der allgemeine Wärmestrom in die obige Gleichung eingesetzt um den austretenden Wärmestrom zu erhalten:

$\dot{Q}_{x + dx} = - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx} - \frac{d (- \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx})}{dx} \cdot dx$

Mit $A$ und $\lambda$ als Konstanten (herausziehen aus der Klammer) ergibt sich dann:

Der austretende Wärmestrom ist gleich dem eintrenden Wärmestrom abzüglich dem austrendem Wärmestrom an der Oberfläche:

$\dot{Q}_{x + dx} = \dot{Q}_x – d\dot{Q}$

Einsetzen aller oben bestimmter Wärmeströme ergibt dann:

$ - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx} + \lambda \cdot A \frac{d^2T}{dx^2} \cdot dx = - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx} - \alpha \cdot U \cdot dx \cdot (T(x) – T_u) $

Kürzen der Gleichung führt zu:

$ \lambda \cdot A \frac{d^2T}{dx^2}= - \alpha \cdot U \cdot (T(x) – T_u) $

Die Differentialgleichung für die Stabtemperatur ergibt sich dann durch Auflösen nach $\frac{d^2T}{dx^2}$:

$ \frac{d^2T}{dx^2} = - \frac{\alpha \cdot U}{\lambda \cdot A} \cdot (T(x) – T_u) $

mit

$m = \sqrt{\frac{\alpha \cdot U}{\lambda \cdot A} }$

ergibt sich dann:

$ \frac{d^2T}{dx^2} = - m^2 \cdot (T(x) – T_u) $

Auflösen der Differentialgleichung ergibt dann den Temperaturverlauf eines Stabes:

Dabei sind $C_1$ und $C_2$ Integrationskonstanten, welche durch die Randbedingungen bestimmt werden können. Diese sollen im Folgenden für einen langen und einen kurzen Stab aufgezeigt werden.