Anwendungsbeispiel: Temperaturverlauf

Es wird zunächst der Wärmestrom durch das Flacheisen innerhalb der Dämmung bestimmt. Da hier die Wärmeübertragung an der Wandoberfläche vernachlässigt wird, ergibt sich der Wärmestrom gemäß Abschnitt Wärmeübertragung durch eine ebene Wand:

$\dot{Q} = \frac{\lambda}{s} \cdot A \cdot (T_i – T_1)$.

Dabei wird für die Dicke $s$ die Länge des Stabes bis zum Ende der Dämmung betrachtet ($s = l = 250mm = 0,25 m$). Für die Temperaturdifferenz muss die Anfangstemperatur $T_i$ und die Temperatur am Ende der Dämmung $T_1$ betrachtet werden. Es gilt $A = s \cdot b = 0,01 m \cdot 0,15 m = 0,0015 m^2$.

$\dot{Q} = \frac{\lambda}{l} \cdot A \cdot (T_i – T_1)$.

Als nächstes wird nun der Wärmestrom am Ende der Dämmung bei $x = 0$ betrachtet. Da hier der Wärmeübergang an der Oberfläche berücksichtigt werden muss, gilt die Formel gemäß dem Abschnitt Wärmeübergang an der Oberfläche für einen kurzen Stab. Hierbei wird der Wärmestrom für den Stabanfang ohne Wärmeübergang am Stabende (laut Aufgabenstellung) herangezogen. Der Stabanfang ist demnach das Ende der Dämmung:

$\dot{Q}_1 = \lambda \cdot A \cdot m \cdot (T_1 – T_u) \cdot tanh (mh)$

Hierbei ist die Temperatur $T_1$ die Anfangstemperatur des Stabes ab der Dämmung (es wird ja nur der Wärmestrom ab der Dämmung betrachtet). Es gilt $h = 250 mm = 0,25 m$ und $A = 0,0015 m^2$ sowie $m = \sqrt{\frac{\alpha \cdot U}{\lambda \cdot A}}$ mit $U = 2 \cdot (s + b) = 0,32 m$. Für $m$ ergibt sich demnach:

$m = \sqrt{\frac{15 \frac{W}{m^2 \cdot K} \cdot 0,32 m}{60 \frac{W}{m \cdot K} \cdot 0,0015 m^2}} \approx 7,3 m^{-1}$.

Der Wärmestrom, welcher durch das Flacheisen im Bereich der Dämmung fließt muss gleich dem Wärmestrom am Ende der Dämmung sein, da keine Wärme innerhalb der Dämmung abfließt. Die beiden Wärmeströme werden also gleichgesetzt:

$\frac{\lambda}{l} \cdot A \cdot (T_i – T_1) = \dot{Q}_1 = \lambda \cdot A \cdot m \cdot (T_1 – T_u) \cdot tanh (mh)$

Einsetzen aller bekannten Werten:

$\small{\frac{60 \frac{W}{m \cdot K}}{0,25 m} \cdot 0,0015 m^2 \cdot (400 °C – T_1) = 60 \frac{W}{m \cdot K} \cdot 0,0015 m^2 \cdot 7,3 m^{-1}\cdot (T_1 – 18 °C) \cdot tanh (7,3 m^{-1}\cdot 0,25 m)}$

Auflösen nach $T_1$:

Den Temperaturverlauf für den Stab ohne Wärmeübergang am Ende kann man für die einzelnen Stellen von $x$ ermitteln mit der folgenden Gleichung:

$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{cosh (m \cdot (h – x)}{cosh(mh)})$

Es wird nun für die Werte von $x = 0 m$, $x = 0,1 m$, $x = 0,2m$ und $x = 0,25 m$ die Temperatur bestimmt:

$T(x = 0) = 18°C + (121,20 °C – 18°C) \cdot (\frac{cosh (7,3 m^{-1} \cdot (0,25m – 0 m)}{cosh(7,3 m^{-1} \cdot 0,25 m)}) = 121,20 °C$

$T(x = 0,1 m) = 18°C + (121,20 °C – 18°C) \cdot (\frac{cosh (7,3 m^{-1} \cdot (0,25m – 0,1 m)}{cosh(7,3 m^{-1} \cdot 0,25 m)}) = 71,90 °C$

$T(x = 0,2 m) = 18°C + (121,20 °C – 18°C) \cdot (\frac{cosh (7,3 m^{-1} \cdot (0,25m – 0,2 m)}{cosh(7,3 m^{-1} \cdot 0,25 m)}) = 52,62 °C$

$T(x = 0,25 m) = 18°C + (121,20 °C – 18°C) \cdot (\frac{cosh (7,3 m^{-1} \cdot (0,25m – 0,25 m)}{cosh(7,3 m^{-1} \cdot 0,25 m)}) = 50,43 °C$

Am Ende des Stabes ergibt sich eine Temperatur von $T_h = 50,43°C$.