Ist das Stabende nicht adiabat abgedichtet bzw. kann die Wärmeabgabe am Stabende nicht vernachlässigt werden, so ergibt sich für den Temperaturverlauf des Stabes unter Berücksichtigung des Wärmeübergangskoeffizienten am Stabende $\alpha_h$ (auf die Herleitung wird verzichtet):
Methode
$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{cosh (m \cdot (h – x) + \frac{\alpha_h}{m \cdot \lambda} \cdot sinh (m \cdot (h – x))}{cosh(mh) + \frac{\alpha_h}{m \cdot \lambda} \cdot sinh (m \cdot h)})$
Merke
Hinweis: Es muss zusätzlich zu dem Wärmeübergang an der Mantelfläche der Wärmeübergang $\dot{Q} = \alpha_h \cdot A \cdot \frac{dT}{dx}$ berücksichtigt werden und dann die Differentialgleichung gelöst werden.
Für die Temperatur am Stabende (mit $x = h$) ergibt sich dann:
Methode
$T(h) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{1}{cosh(mh) + \frac{\alpha_h}{m \cdot \lambda} \cdot sinh (m \cdot h)})$
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