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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Ebene Platte

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Ebene Platte

In diesem Abschnitt soll die Längsströmung an einer ebenen Platte aufgezeigt werden.

In der folgenden Grafik ist eine ruhende ebene Platte zu sehen, über welche ein Fluid fließt. Das Fluid weist eine Strömungsgrenzschicht und eine Temperaturgrenzschicht auf (siehe ausführlich Abschnitt: Strömungs- und Temperaturgrenzschicht). Für unterschiedliche Prandtl-Zahlen $Pr$ ergeben sich auch unterschiedliche Dicken der Grenzschichten. Zum Beispiel ist für eine Prandtl-Zahl $Pr = 1$ die Dicke der Temperaturgrenzschicht $\delta_{th}$ und die Dicke der Strömungsgrenzschicht $\delta$ annährend gleich:

Ebene Platte Temperaturgrenzschicht Strömungsgrenzschicht

Nußelt-Zahlen für die ebene Platte

Die im folgenden aufgeführten Nußelt-Zahlen gelten für die ebene Platte und sind dem VDI-Wärmeatlas (2013, S.805 ff) entnommen. Dabei muss für die charakteristische Länge $L$ die Länge der ebenen Platte $l$ eingesetzt werden.

Der Umschlag von der laminaren Strömung auf die turbulente Strömung erfolgt in etwa bei $Re = 5 \cdot 10^5$


Für die laminare Strömung kann die Nußelt-Zahl für die längsumströmte Platte wie folgt bestimmt werden (nach Polhausen):

Methode

$Nu_{l; lam} = 0,644 \cdot \sqrt[3]{Pr} \cdot \sqrt{Re_l}$      für $Re_l < 5 \cdot 10^5$


Besitzt die ebene Platte eine stumpfe Plattenvorderkante, so bildet sich bereits zu Beginn eine turbulente Grenzschicht aus. Die Nußelt-Zahl kann hier bestimmt werden zu (nach Petukhov und Popov):

Methode

$Nu_{l; turb} = \large{\frac{\frac{\xi}{8} \cdot Re_l \cdot Pr}{1 + 12,7 \cdot \sqrt{\frac{\xi}{8}} \cdot (Pr^{2/3} - 1)}}$


gültig für:

$5 \cdot 10^5 < Re < 10^7$

$0,5 < Pr < 2.000$


Zur Berechnung der mittleren Nußelt-Zahl kann der folgenden Verlustbeiwert $\xi$ eingesetzt werden (nach Schlichting):

Methode

$\frac{\xi}{8} = 0,037 \cdot Re_l^{-0,2}$


Da bei mittleren Reynolds-Zahlen keine laminare Grenzschicht über die gesamte Plattenlänge vorliegt, diese also irgendwann in eine turbulente Grenzschicht umschlägt, kann man für den Bereich zwischen  $10^1 < Re < 5 \cdot 10^5$ und $0,5 < Pr < 2.000$ die folgenden Gleichung heranziehen (nach Gnielinski):

Methode

$Nu_l = \sqrt{Nu^2_{l; lam} + Nu^2_{l; turb}}$

Unbeheizte Vorschaltstrecke

Handelt es sich um eine ebene Platte, bei welcher die Beheizung der Platte erst nach einer gewissen Strecke gegeben ist, so kann man bei laminarer Strömung die folgende mittlere Nußelt-Zahl heranziehen (nach Brauer):

Methode

$Nu_{l; lam} = 0,644 \cdot \sqrt[3]{Pr} \cdot \sqrt{Re_l} \cdot \frac{[1 - (1 - (\frac{l_0}{l})^{3/4}]^{2/3}}{\frac{l_0}{l}}$

mit

$l$ gesamte Plattenlänge

$l_0$ beheizte Plattenlänge

Für turbulenten Strömungen mit nicht beheizter Vorschaltstrecke kann stattdessen in die obige Gleichung $Nu_{l, turb}$ und $Re_l$ statt der Länge $l$ der Platte die beheizte Plattenlänge $l_0$ eingesetzt werden, wenn das Verhältnis $\frac{l_0}{l}$ zwischen 0,1 und 1 liegt.

Einzusetzenden Kennzahlen


Für die Platte ist die charakteristische Länge die Länge der Platte $L = l$. Innerhalb der Reynolds-Zahl muss diese ebenfalls berücksichtigt werden:

$Re_l = \frac{w \cdot l}{\nu}$

Es sind wieder die Stoffwerte für die mittlere Temperatur einzusetzen:

$T_m = \frac{T_{ein} + T_{aus}}{2}$

Außerdem ist die Richtung des Wärmestroms zu berücksichtigen. Dabei ergeben sich für Flüssigkeiten und Gase die folgenden zu berücksichtigen Gleichungen.

Für Gase ergibt sich (nach Churchill und Brier):

$f_1 = (\frac{T_m}{T_w})^{0,12}$


Für Flüssigkeiten ergibt sich (nach Zukauskas und Ambrazyavichyus):

$f_1 = (\frac{Pr_m}{Pr_w})^{0,25}$