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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Laminare und turbulente Grenzschicht

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Laminare und turbulente Grenzschicht

Methode

Ziel dieses Kapitels ist es also die Wärmeübergangszahl $\alpha$ zu bestimmen, die bei der Berechnung des Wärmestroms zwischen einem bewegten Fluid und einer Wand berücksichtigt werden muss. Die Wärmeübergangszahl ist abhängig von

  • der Strömungsgeschwindigkeit $w$

  • der Art der Strömung: laminare vs. turbulente Grenzschichtströmung

  • der Geometrie der Wand (z.B. Rohrwand, ebene Wand)

  • und der Richtung des Wärmestroms: Wärmestrom von dem Fluid auf die Wand wird als Kühlen bezeichnet, weil sich das Fluid abkühlt. Wärmestrom von der Wand auf das Fluid wird als Heizen bezeichnet, weil sich das Fluid erwärmt.

In diesem Abschnitt wird die Art der Strömung näher betrachtet. Um die Wärmeübergangszahl $\alpha$ bestimmen zu können, muss also die Strömung in eine laminare und in eine turbulente Strömung unterschieden werden. Dabei wird die Grenzschichtströmung betrachtet. 

Grenzschichttheorie

Der deutsche Physiker Ludwig Prandtl (1875 - 1953) teilte die Strömung in der Umgebung eines Körpers in zwei Gebiete auf: In eine Außenströmung, bei der die Reibung vernachlässigt werden kann und in eine Grenzschichtströmung, bei welcher die Reibung des Fluides am Körper berücksichtigt werden muss, da diese einen Einfluss auf die Strömung besitzt. Aufgrund der Reibung der Fluidteilchen am Körper ändert sich das Geschwindigkeitsprofil der Strömung, was innerhalb des Wärmeübergangskoeffizienten berücksichtigt werden muss. 

Laminare und turbulente Grenzschichtströmung

Der britische Physiker Osborne Reynolds (1842 - 1912) hat im Jahr 1883 einen Färbversuch einer Wasserströmung in einem Rohr vorgenommen und festgestellt, dass Verwirbelungen in einer Rohrleitung ab einer bestimmten Strömungsgeschwindigkeit auftreten (turbulente Strömung). Bevor diese Strömungsgeschwindigkeit erreicht wird, strömt das Fluid in Schichten, die sich nicht miteinander vermischen (laminare Strömung). In einer laminaren Strömung verlaufen die Stromlinien (also die Bahnlinien der Fluidteilchen) quasi paralell zueinander - es ist also nur eine geringe Reibung vorhanden. Hingegen bewegen sich die Fluidteilchen in einer turbulenten Strömung chaotisch in alle Richtungen (aber makroskopisch immer noch in Strömungsrichtung) und stoßen somit auf viele andere Teilchen - damit ist hier eine große Reibung vorhanden. 

Laminare und turbulente Strömung


Als Beurteilungskriterium von Strömungen dient die Reynolds-Zahl. Ab einem kritischen Wert $Re_{krit}$ wird die laminare Strömung instabil gegenüber kleinen Störungen. Bei Rohrströmungen liegt dieser Wert bei 

Methode

$Re_{krit} < 2.300$    Laminare Rohrströmung

Die turbulente Strömung liegt bei Rohrströmungen erst mit Sicherheit bei 

Methode

$Re > 10^5$     Turbulente Rohrströmung

vor. Zwischen diesen beiden Reynolds-Zahlen befindet sich das Übergangsgebiet

Methode

$2.300 \le Re \le 10^5$     Übergangsgebiet

in welchem sich laminare und turbulente Strömungen abwechseln. 


Fasst man nun beide Ergebnisse zusammen, so erhält man in der Nähe des betrachteten Körpers eine sogenannte Grenzschicht, welche sich in eine laminare und in eine turbulente Grenzschicht unterteilen lässt. Bei der laminaren Strömung, bewegt sich das Fluid in parallelen Schichten. Die Wärme wird hier zwischen diesen Schichten durch Wärmeleitung transportiert (wie im vorherigen Kapitel gezeigt). Bei der turbulenten Strömung hingegen finden intensive Verwirbelungen und Umschichtungen statt, so dass eine fast perfekte Vermischung im Fluid stattfindet. Der Wärmetransport in einer turbulenten Strömung ist somit effizienter als bei der laminaren Strömung. 

Laminare und turbulente Grenzschicht

In der obigen Grafik ist die laminare und die turbulente Grenzschichtströmung sowie das Übergangsgebiet anhand einer ebenen Platte aufgezeigt. Bei der turbulenten Grenzschichströmung ergibt sich unmittelbar in Plattennähe eine laminare Unterschicht. Nach der kritischen Länge $x$ liegt keine laminare Plattenströmung mehr vor. Für die ebene Platte gilt als kritische Reynolds-Zahl

Methode

$Re < 5 \cdot 10^5$    Laminare Plattenströmung

Danach folgt das Übergangsgebiet, welches zwischen laminarer und turbulenter Strömung wechselt und dann in eine turbulente Strömung mit laminarer Unterschicht übergeht. 

Man könnte die Grenzschicht auch als Isolationsschicht bezeichnen. Der Wärmestrom ist umso größer, je dünner die Grenzschicht, da der Temperaturgradient mit zunehmender Grenzschicht sinkt. In der turbulenten Strömung findet aufgrund der Verwirbelungen eine Durchmischung des Fluides statt, daher wird der Wärmeübergangskoeffizient in der turbulenten Grenzschicht größer als in der laminaren, wo keine Durchmischung der laminaren Schichten stattfindet. Der Wärmestrom ist demnach in der turbulenten Grenzsschiht größer als in der laminaren. 

Laminare Grenzschicht

  • Der Staupunkt befindet sich an der Plattenvorderkante (größter Druck).

  • Die laminare Grenzschichtdicke $\delta_{lam}$ nimmt mit zunehmender Plattenlänge $l$ zu, bis zu $x$:

    $\delta_{lam} = \frac{5 \cdot x}{\sqrt{Re_x}}$

  • Mit zunehmenden Abstand von der Plattenvorderkante destabilisiert sich die laminare Strömung und schlägt um. Der Umschlag von laminarer und turbulenter Strömung erfolgt im Übergangsgebiet bei:

    $5 \cdot 10^5 < Re < 3 \cdot 10^6$

Turbulente Grenzschicht

  • Bildung einer laminaren Unterschicht unmittelbar in Plattennähe. Die Dicke entspricht in etwa 3 % - 5% der turbulenten Grenzschicht.

  • Bei der turbulenten Grenzschicht ergibt sich eine Energiezufuhr aufgrund des Impulsaustausches mit der Außenströmung. Die kinetische Energie ist größer als bei der laminaren Strömung.

  • Aufgrund der Durchmischung ist der Wärmeübergang größer als bei der laminaren Strömung.

  • Die Auflösung der Grenzschicht wird aufgrund der höheren kinetischen Energie verzögert.

  • Die turbulente Grenzschichtdicke $\delta_{turb}$ nimmt mit zunehmender Plattenlänge $l$ zu:

    $\delta_{lam} = \frac{5 \cdot x'}{\sqrt{Re_x'}}$

    Dabei ist $x'$ die Lauflänge der turbulenten Strömung.


In dem folgenden Abschnitt wird die Grenzschicht in eine Strömungsgrenzschicht und eine Temperaturgrenzschicht unterteilt.