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Nußelt-Zahl

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Nachdem nun alle relevanten Größen für die Bestimmung der Wärmeübergangszahl $\alpha$ eingeführt worden sind, wird in diesem Abschnitt die dimensionslose Wärmeübergangszahl $Nu$ eingeführt. Die Nußelt-Zahl wurde nach dem deutschen Physiker Wilhelm Nußelt (1882 - 1957) benannt. 

Nußelt begründete die Ähnlichkeitstheorie der Wärmeübertragung. Die Ähnlichkeitstheorie besagt allgemein , dass aus einem bereits bekannten Modell Rückschlüsse auf ein geplantes Modell gezogen werden können, welches experimentell unzugänglich ist. Die Nußelt-Zahl dient dabei zur Beschreibung des konvektiven Wärmeübergangs zwischen einem Körper (z.B. ebene Platte) und einem strömenden Fluid. Um die Wärmeübergang von einem strömenden Fluid auf einen ruhenden Körper (oder umgekehrt) bestimmen zu können, welcher z.B. experimentell unzugänglich ist, wird die für einen ähnlich geometrisch aufgebauten Körper die bereits experimentell ermittelte Nußelt-Zahl heranzgezogen.

Die Nußelt-Zahl $Nu$ ist abhängig vom Strömungszustand, welcher mit der Reynolds-Zahl $Re$ berücksichtigt wird, von der Temperaturgrenzschicht und damit der Strömungrenzschicht, welche mit der Prandtl-Zahl $Pr$ berücksichtigt werden und von der Geometrie des betrachteten Körpers (z.B. Strömung entland einer Wand oder durch ein Rohr) sowie von der Richtung des Wärmestroms (Heizen oder Kühlen des Fluids). 

Methode

$Nu = f(Re, Pr, \text{Geometrie}, \text{Richtung})$


Hat man die Nußelt-Zahl bestimmt, so kann man aus dieser die Wärmeübergangszahl $\alpha$ berechnen:

Methode

$\alpha = \frac{Nu_L \cdot \lambda}{L}$

Der Wärmeleitkoeffizient $\lambda$ und die charakteristische Länge $L$ sind als bekannt vorauszusetzen. 

Ziel der nächsten Abschnitte ist es also die Nußelt-Zahl für verschiedene Körper unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Strömungen (laminar oder turbulent) zu bestimmen. Es kann dann mittels der obigen Formel der Wärmeübergangskoefffizient bestimmt werden, um den Wärmestrom von einem bewegten Fluid auf den betrachteten Körper (bzw. umgekehrt) zu bestimmen.

Wärmestrom

Der Wärmeübergang zwischen einer ruhenden Wand und einem sich bewegenden Fluid (oder umgekehrt) ist ein relativ komplexer Vorgang, weil neben der Temperatur, der Fläche und den Stoffdaten (wie im vorherigen Kapitel) zusätzlich der Strömungszustand berücksichtigt werden muss. Um nun eine formale Beziehung herleiten zu können, wird zunächst von einem linearen Temperaturverlauf zwischen Temperatur an der Wandoberfläche und der Temperatur des Fluids ausgegangen. Dieser Wörmestrom wird dann bestimmt zu (siehe vorheriges Kapitel):

Methode

$\dot{Q} = \alpha \cdot A \cdot (T_f - T_w)$

Hierbei handelt es sich um den Wärmestrom von einem Fluid auf die Wand (Fluidtemperatur $T_f$ ist größer als die Wandtemperatur $T_w$ ).

Bei einem Wärmestrom von der Wand auf das Fluid hingegen, besitzt die Wand die höhere Temperatur, dann gilt:

Methode

$\dot{Q} = \alpha \cdot A \cdot (T_w - T_f)$


Die Wärmestromdichte ergibt sich dann zu:

Methode

$\dot{q} = \alpha \cdot (T_w - T_f)$


Bei Rohren und Wärmeübertragern ist die Temperatur entland der Fläche $A$ nicht konstant. Es muss hier mit der logarithmischen Temperaturdifferenz $\triangle T_m$ gerechnet werden (bei konstanter Wandtemperatur $T_w$):

Methode

$\dot{q} = \alpha \cdot \triangle T_m$

mit

$\triangle T_m = \frac{T_{aus} - T_{ein}}{\ln \frac{T_w - T_{ein}}{T_w - T_{aus}}}$


Im Falle des konvektiven Wärmeübergangs ist es  nun so, dass der Wärmeübergangskoeffizient $\alpha$ nicht mehr (wie im vorherigen Abschnitt) nur abhängig von den Stoffdaten, der Fläche und der Temperatur ist, sondern zusätzlich vom Strömungszustand des Fluids. Wie bereits oben erwähnt ist in Wandnähe die Strömungsgeschwindigkeit gleich Null und damit liegt ein linearer Temperatuverlauf vor (siehe vorheriges Kapitel). Mit steigender Geschwindigkeit ist der Temperaturverlauf nicht mehr linear. Die Temperatur wird dann mit zunehmenden Abstand irgendwann einen konstanten Wert $T_{infty}$ der Außenströmung annehmen. Der insgesamte Temperaturverlauf findet in der Temperaturgrenzschicht statt. In dieser ändert sich also die Temperatur von der Wand zum Fluid. Die Temperaturgrenzschicht wird mit zunehmender Wandlänge immer dicker. Kennt man diese Dicke $\delta_{th}$ und die Wärmeleitfähigkeit $\lambda$ der Temperaturgrenzschicht, so kann die Wärmeübergangszahl $\alpha$ bestimmt werden:

Methode

$\alpha = \frac{\lambda}{\delta_{th}}$

Allerdings ist es kaum möglich die Dicke der Temperaturgrenzschicht zu bestimmen, weshalb die Wärmeübergangszahl $\alpha$ mittels anderer Verfahren berechnet werden muss. Hier wird also die Nußelt-Zahl herangezogen. In den folgenden Abschnitten folgt nun eine Auflistung der Nußelt-Zahlen für verschiedene Körper (Rohr, ebene Platte) unter Berücksichtigung der Strömung (laminar oder turbulent). Die Nußelt-Zahlen sind dem VDI-Wärmeatlas (11. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2013) entnommen. Die Nußelt-Zahlen sind aus Experimenten ermittelt worden und wurden im VDI-Wärmeatlas zusammengefasst. Es werden einige dieser Nußelt-Zahlen in den folgenden Abschnitten verwendet um die Bestimmung der Wärmeübergangszahl $\alpha$ aufzuzeigen. 

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