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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Quer angeströmte Zylinder (Rohre)

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Quer angeströmte Zylinder (Rohre)

In diesem Abschnitt werden umströmte Einzelkörper betrachtet und die Nußelt-Zahlen für diese angegeben. Es wird dabei der Strömungsverlauf um einen Zylinder (Rohr) dargestellt.

Wie bereits in der Strömungslehre behandelt, bildet sich am Staupunkt $0°$ eine laminare Grenzschicht. Abhängig von der Geometrie des Körpers sowie von der Strömungsgeschwindigkeit kann diese dann in eine turbulente Strömung übergehen, d.h. es entstehen Strömungsablösungen. 

Die Nußelt-Zahl kann auch bei umströmten Einzelkörpern als Funktion der Reynolds-Zahl $Re$, der Prandtl-Zahl sowie der Geometrie des Körpers bestimmt werden. Hierbei muss nun aber die charakteristische Überströmungslänge $L_ü$ berücksichtigt werden. Die Gleichungen ergeben sich dann wie folgt:

Methode

$Re_{L_ü} = \large{\frac{w \cdot L_ü}{\nu}}$

$Pr = \frac{\nu}{a} = \frac{\eta \cdot c_p}{\lambda}$

$Nu_{L_ü} = \alpha \cdot \frac{L_ü}{\lambda}$

Überströmungslänge

Die Überströmungslänge ist allgemein definiert als:

Methode

$L_ü = \frac{A}{U_{proj}}$

Dabei ist $A$ die am Austausch beteiligte Fläche und $U_{proj}$ der benetzte Umfang der projizierten Fläche $A_{proj}$ in Strömungsrichtung. Für die Platte, die Kugel und den Zylinder sei nachfolgend die Austauschfläche $A$ sowie der projizierte Umfang aufgeführt:

Körper Überströmungslänge


Ebene Platte


$L_ü = \frac{l \cdot b}{b} = l$

Zylinder (Rohr)
   

$L_ü = \frac{d \cdot \pi \cdot l}{2 \cdot l} = d \cdot \frac{\pi}{2}$

Kugel


$L_ü = \frac{\pi \cdot d^2}{d \cdot \pi} = d$

Der projizierte Umfang ist bei Zylindern oder länglichen Körpern die doppelte Länge des Zylinders, bei einer Platte die Breite der Platte und bei einer Kugel der Umfang eines Kreises.

Nußelt-Zahlen für laminare und turbulente Strömungen

Im Folgenden sollen die mittleren Nußelt-Zahlen für Rohre, Profilzylinder und Drähte betrachtet werden. Dabei muss für die charakteristische Länge $L$ die Überströmungslänge eines Zylinders berücksichtigt werden:

Methode

$L_ü = d \cdot \frac{\pi}{2}$


Die folgenden mittleren Nußelt-Zahlen für quer angeströmte Rohre, Profilzylinder und Drähte sind dem VDI-Wärmeatlas (2013, S. 817 ff) entnommen. Dabei können (nach Kirschner und Kast) die Gleichungen für die ebene Platte herangezogen werden, wenn die Überströmungslänge $L_ü$ berücksichtigt wird.

Für $1 < Re < 10^3$ gilt die Gleichung für die laminare Strömung (nach Polhausen) :

Methode

$Nu_{L_ü, lam} = 0,664 \cdot \sqrt[3]{Pr} \cdot \sqrt{Re_{L_ü}}$


Bei Reynoldszahlen von $10^5 < Re 10^7$ (turbulenter Bereich) gilt (nach Petukhov und Popov):

Methode

$Nu_{L_ü, turb} = \large{\frac{0,037 \cdot Re_{L_ü}^{0,8} \cdot Pr}{1 + \frac{2,443}{Re_{L_ü}^{0,1}} \cdot (Pr^{2/3} - 1)}}$


Nach Gnielinski kann der gesamte Bereich $10 < Re < 10^7$ erfasst werden, indem der geometrische Mittelwert aus laminarer und turbulenter Strömung gebildet wird. Mittels dieser Gleichung wird auch der Übergangsbereich $10^3 < Re < 10^5$ wiedergegeben:

Methode

$Nu_{L_ü} = Nu_0 + \sqrt{Nu^2_{lam} + Nu^2_{turb}} \cdot f_2$

Dabei ist $f_2$ die Richtung des Wärmestroms mit

Flüssigkeiten: $f_2 = (\frac{Pr}{Pr_W})^{0,25}$

Gase: $f_2 = \frac{T}{T_W}^{0,12}$

Schräg angestrrömte Zylinder (mit Winkel)

Wird ein Körper schräg angeströmt, also mit einem bestimmten Winkel $\alpha$, so reduziert sich die Nußelt-Zahl (nach Vornehm):

$\alpha$ 20°   30°   40°   50°   60°   70°   80°   90°  
$\large{\frac{Nu_{\alpha, L_ü}}{Nu_{L_ü}}}$   
0,5

0,63  

0,75  

0,86  

0,95  

0,99  

1,0  

1,0  

In der obigen Tabellen ist das Verhältnis zwischen der Nußelt-Zahl bei einem schräg angeströmten Körper $Nu_{\alpha, L_ü}$ zur Nußelt-Zahl eines senkrecht angeströmten Körpers (90°) eingetragen. Je schräger die Anströmung, also je weiter diese sich von der senkrechten Anströmung entfernt, desto geringer ist das Verhältnis.

Merke

Je schräger die Anströmung, desto geringer die Nußelt-Zahl im Vergleich zur senkrechten Anströmung (90°-Anströmung).

In der folgenden Grafik ist die senkrechte (quer) und schräge Anströmung bei 20° eines Zylinders visualisiert:

schräge Anströmung Nußelt-Zahl


Bei der Berechnung der Nußelt-Zahl für die schräge Anströmung muss die Reynolds-Zahl $Re_{\alpha, L_ü}$ dann wie folgt angepasst werden:

Methode

$Re_{\alpha, L_ü} = \large{\frac{w_{\alpha} \cdot L_ü}{\nu}}$

mit

$w_{\alpha} = w \cdot \sin (\alpha)$