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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Ringspalte

Bei Ringspalte ist das Verhältnis von Innendurchmesser $d_i$ und Außendurchmesser $d_a$ heranzuziehen. Ringspalte kommen beispielsweise bei Wärmeübertragern (siehe späteren Abschnitt: Wärmeübertrager) zur Anwendung. Es handelt sich hierbei um zwei Rohre. Ein Innenrohr, welches durch ein Außenrohr umgeben ist. Dabei fließt z.B. ein Fluid durch das Innenrohr und ein Fluid im Ringspalt zwischen dem Innen- und dem Außenrohr.

Ringspalt Wärmeübergang


Strömt im Innenrohr zum Beispiel ein kälteres Fluid als im Ringspalt, so ließt ein Wärmestrom $\dot{Q}$ vom Fluid im Ringspalt zum Fluid im Innenrohr. Das hat zur Folge, dass die Temperatur des Fluids im Innenrohr zunimmt, die Temperatur des Fluids im Ringspalt dafür abnimmt:

Ringspalt Wärmeübertragung zum Innenrohr

Strömung im Ringspalt

Behandelt wird hier der Wärmeübergang zwischen dem strömenden Fluid im Ringspalt und den Rohrwänden $d_i$ und/oder $d_a$. Für die Berechnungen der Nußelt-Zahlen wird der hydraulische Durchmesser 

Methode

$d_h = d_a - d_i$

herangezogen. Dabei ist $d_i$ der Außendurchmesser des Innenrohres und $d_a$ der Innendurchmesser des Außenrohres (siehe obige Grafik). Es gilt auch für das strömende Fluid im Ringspalt, dass bei einer Reynolds-Zahl von $Re \le 2.300$ eine laminare Strömung vorliegt und bei $Re > 10^4$ eine turbulente Strömung mit Sicherheit gegeben ist. Der Bereich dazwischen wird als Übergangsbereich bezeichnet. 

Wärmeübergang

Ringspalt Wärmeübergang

Wie in den vorherigen Abschnitten auch, wird hier der Wärmeübergang zwischen Wand und Fluid bzw. umgekehrt für eine konstante Wandtemperatur $T_w = const$ betrachtet. Es sollen die folgenden Fälle für den Wärmeübergang an das Fluid im Ringspalt betrachtet werden:

  • (1) Wärmestrom von der Innenrohrwand mit $d_i$ an das Fluid im Ringspalt (oder umgekehrt), wobei das Außenrohr gedämmt ist. Dies ist der Fall, wenn das Fluid im Innenrohr eine höhere Temperatur aufweist, als das Fluid im Ringspalt (oder umgekehrt). 

  • (2) Wärmestrom vom Ringspalt an die Außenrohrwand (oder umgekehrt), wobei das Innenrohr wärmegedämmt ist. Dies ist der Fall, wenn die Temperatzr des Fluids im Ringspalt größer ist, als die Umgebungstemperatur des umgebenden Mediums.

  • (3) Wärmestrom vom Ringspalt an die Außenrohrwand (oder umgekehrt) und  Wärmestrom von der Innenrohrwand an das Fluid im Ringspalt (oder umgekehrt). Hierbei gilt, dass die Wandtemperaturen von Außenrrohr und Innenrohr konstant und gleich sind $T_{w,a} = T_{w,i} = const$.

Laminare Ringspaltströmung

Die Gleichungen für die laminare Ringspaltströmung ist dem VDI-Wärmeatlas (2013, S. 794) entnommen. Es wird auch hier zwischen dem thermischen und hydrodynamischen Anlauf sowie zwischen der voll ausgebildeten hydrodynamischen und thermischen Strömung unterschieden.


Dabei gelten für $Nu^3_{d_h, 1}$ für die hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildete Laminarströmung in Abhängigkeit vom Wärmeübergang die folgenden mittleren Nußelt-Zahlen (nach Martin):

(1) $Nu_{d_h,1} = 3,66 + 1,2 \cdot (\frac{d_i}{d_a})^{-0,8}$

(2) $Nu_{d_h,1} = 3,66 + 1,2 \cdot (\frac{d_i}{d_a})^{0,5}$

(3) $Nu_{d_h,1} = 3,66 + [4 - \frac{0,102}{\frac{d_i}{d_a} + 0,02}] \cdot (\frac{d_i}{d_a})^{0,04}$ 

Für $Nu_{d_h,2}$ gelten für die hydrodynamisch ausgebildete Strömung mit thermischen Anlauf die folgenden mittleren Nußelt-Zahlen in Abhängigkeit vom Wärmeübergang (nach Stephan):

(1) $Nu_{d_h,2} = 1,615 \cdot (1 + 0,14 \cdot (\frac{d_i}{d_a})^{-0,5}) \cdot (Re_{d_h} \cdot Pr \cdot \frac{d_h}{L})$

(2) $Nu_{d_h,2} = 1,615 \cdot (1 + 0,14 \cdot (\frac{d_i}{d_a})^{1/3}) \cdot (Re_{d_h} \cdot Pr \cdot \frac{d_h}{l})$

(3) $Nu_{d_h,2} = 1,615 \cdot (1 + 0,14 \cdot (\frac{d_i}{d_a})^{0,1}) \cdot (Re_{d_h} \cdot Pr \cdot \frac{d_h}{l})$


Es kann auch die mittlere Nußelt-Zahl für die laminare Ringspaltströmung bei voll ausgebildeter hydrodynamischen Strömung mit thermischen Anlauf oder mit ausgebildeter thermischer Strömung durch die folgende Gleichung bestimmt werden:

Methode

$Nu_{d_h, lam} = (Nu^3_{d_h, 1} + Nu^3_{d_h,2})^{1/3}$

Es sind dann für den jeweiligen Wärmeübergang (1) - (3) die entsprechenden obigen Gleichungen einzusetzen. 


Für die laminare Ringspaltströmung mit hydrodynamischem und thermischem Anlauf kann die folgende Gleichung herangezogen werden (nach Martin). Hierbei liegt eine Strömung vor die weder hydrodynamisch noch thermisch voll ausgebildet ist:

Methode

$Nu_{d_h, lam} = (Nu^3_{d_h, 1} + Nu^3_{d_h,2} + Nu^3_{d_h, 3})^{1/3}$

Dabei werden für $Nu_{d_h,1}$ und für $Nu_{d_h,2}$ die obigen Gleichungen entsprechend (1) - (3) eingesetzt. Für $Nu_{d_h,3}$ wird die folgenden Gleichung eingesetzt:

Methode

$Nu_{d_h, 3} = (\frac{2}{1 + 22 \cdot Pr})^{1/6} \cdot (Re_{d_h} \cdot Pr \cdot \frac{d_h}{l})^{1/2}$

 

Turbulente Ringspaltströmung

Es soll die voll ausgebildete turbulente Ringspaltströmung betrachtet werden. Für die mit $Re > 10^4$ kann die folgende Gleichung zur Bestimmung der mittleren Nußelt-Zahl herangezogen werden (nach Petukhov und Kirillov):

Methode

$Nu_{d_h, turb} = \large{\frac{\frac{\xi}{8} \cdot Re_{d_h} \cdot Pr}{1,07 + \frac{900}{Re_{d_h}} - \frac{0,63}{1 + 10Pr} + 12,7 \cdot \sqrt{\frac{\xi}{8}} \cdot (Pr^{2/3} - 1)}}$ $ \cdot [1 + (\frac{d_h}{l})^{2/3}] \cdot f_{rsp}$

Dabei ist die Rohrreibungszahl $\xi$ bei Ringspaltströmungen nicht wie bei der Rohrströmungen. Es wird für Ringspalte die folgenden Rohrreibungszahl eingesetzt (nach Gnielinski):

Methode

$\xi = (1,8 \cdot \log_{10} (Re_{*}) - 1,5)^{-2}$

mit

$Re^* = \large{Re \cdot \frac{[1 + (\frac{d_i}{d_a})^2] \ln (\frac{d_i}{d_a}) + [1 - (\frac{d_i}{d_a})^2]}{[1 - \frac{d_i}{d_a}]^2 \ln (\frac{d_i}{d_a})}}$

Zu berücksichtigende Kennzahlen

Innerhalb der obigen Gleichungen ist die Reynolds-Zahl $Re_{d_h}$ mit dem hydraulischen Durchmesser $d_h = d_i - d_a$ zu bilden:

Methode

$Re_{d_h} = \frac{w \cdot d_h}{\nu}$


Die Stoffwerte ($\nu$, \lambda$, etc) sind bei mittlerer Temperatur $T_m$ zu wählen:

Methode

$T_m = \frac{T_{ein} + T_{aus}}{2}$


Die Richtung des Wärmestroms ist ebenfalls für Flüssigkeiten und Gase zu berücksichtigen:

Methode

Flüssigkeiten: $f_1 = (\frac{P_m}{P_w})^{0,11}$

Gase: $f_1 = (\frac{T_m}{T_w})^{n}$

mit:

$n = 0$ für $\frac{T}{T_w} > 1$ (Kühlen des Gases)

$n = 0,45$ für $0,5 < \frac{T}{T_w} < 1$ (Heizen des Gases)

Dabei wird die Richtung des Wärmestroms nachdem die Nußelt-Zahl für die laminare oder turbulente Strömung bestimmt worden mit der Gleichung für die Richtung des Wärmestroms multipliziert.

Für die Prandtl-Zahl gilt:

Methode

$Pr = \frac{\nu}{a}$

mit

$a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$

Für die Stoffwerte ($\nu$, $\lambda$, $\rho$ und $c_p$) wird die mittlere Temperatur (wie weiter oben aufgeführt) angenommen.

Ist die mittlere Nußelt-Zahl bestimmt worden, so kann mittels der folgenden Gleichung der mittlere Wärmeübergangskoeffizient bestimmt werden:

Methode

$\alpha_m = \frac{Nu_{d_h} \cdot \lambda}{d_h}$


Die Wärmestromdichte für das Rohr ergibt sich dann durch:

Methode

$\dot{q} = \alpha_m \cdot \triangle T_m$

mit

$\triangle T_m = \frac{T_{aus} - T_{ein}}{\ln \frac{T_w - T_{ein}}{T_w - T_{aus}}}$