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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Rohrströmungen (kreisförmig)

Bei der Strömung von Fluiden in Rohren ist die charakteristische Länge der Innendurchmesser $L = d_i$ des Rohres. Zur Bestimmung der Wärmeübergangszahlen muss zwischen der turbulenten und laminaren Rohrströmung unterschieden werden.

Bei einer laminaren Rohrinnentrömung ergibt sich ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit von der Wand ($w =0$) parabelförmig zur Mitte hin zunimmt. An der Wand wird das Fluid durch Reibung zum Stillstand gebracht (Haftbedingung: $w = 0$). Je weiter ein Fluidteilchen von der Wand entfernt ist, desto höher ist seine Geschwindigkeit. Diese steigt dann bis $w_{\infty}$ an:

Rohrströmungen Geschwindigkeitsprofil Geschwindigkeit laminare Strömung

Bei der turbulenten Rohrinnenströmung ergibt sich ein flacheres Geschwindigkeitsprofil. Der Anstieg der Geschwindigkeit ist bei der turbulenten Strömung also größer als bei der laminaren. Grund dafür ist der Energieaustausch zwischen den Teilchen. Bei der laminaren Strömung verlaufen die Fluditeilchen in parallelen Bahnen und berühren sich kaum. Demnach beeinflussen sich diese nicht so stark wie bei der turbulenten Strömung. Hier nämlich existieren viele Stöße zwischen den Fluditeilchen, was zu einem schnelleren Anstieg der Geschwindigkeit führt.

Hydrodynamische Anlaufströmung

Das oben angegebene Geschwindigkeitsprofil der Rohrströmungen ergibt sich für voll ausgebildete Rohrströmungen, d.h. das Geschwindigkeitsprofil längs der Achse des Rohrs (mit konstantem Querschnitt) ändert sich nicht mehr. Diese voll ausgebildete hydrodynamische Strömung wird nach einer bestimmten Anlaufstrecke $l_a$ nach dem Rohreintritt erreicht. Davor ist die Rede von der sogenannten hydrodynamischen Anlaufströmung. Diese besitzt (bei gut ausgebildeteten Rohreinläufen) zu Beginn des Rohreintritts einen konstanten Geschwindigkeitsverlauf. Mit zunehmender Anlaufstrecke bildet sich dann der obige Geschwindigkeitsverlauf (parabolisch für die laminare Strömung) aus. 

Anlaufstrecke Anlaufströmung laminare Strömung

Für die laminarer Strömung kann die Anlaufstrecke wie folgt berechnet werden (nach Baehr/Stephan):

Methode

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$l_a \approx 0,05 \cdot Re \cdot d_i$           Anlaufstrecke laminare Rohrströmung


gültig für:

$Re < 2.300$

 Diese Anlaufstrecke liegt vor, wenn das Fluid mit gleichförmiger Geschwindigkeit in das Rohr einströmt.


Für die turbulente Strömung ergibt sich eine Anlaufstrecke von:

Methode

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$10 \cdot d_i < l_a < 60 \cdot d_i$  Anlaufstrecke turbulente Rohrströmung

gültig für:

$Re > 10^5$

Temperaturprofil

Bei Strömungen durch ein Rohr ist in der Wandnähe eine Temperaturgrenzschicht vorhanden, in der sich die Temperatur von der Wandtemperatur $T_w$ zur Fluidtemperatur $T_f$ ändert. Da die Temperaturgrenzschicht im Vergleich zum Rohrdurchmesser sehr klein ist, kann für eine Modellrechnung angenommen werden, dass die Fluidtemperatur $T_f$ gleich der Temperatur in der Mitte des Fluids ist. Wie bereits erwähnt ist es nicht möglich diese Temperaturgrenzschicht zu messen, weshalb die Nußelt-Zahl zur Bestimmung der Wärmeübergangszahl herangezogen wird. Der Temperaturverlauf ist ähnlich dem Geschwindigkeitsverlauf bei laminarer und turbulenter Strömung.

Thermische Anlaufströmung

Auch innerhalb der Temperaturgrenzschicht muss zwischen der thermisch ausgebildetetn Strömung und der thermischen Anlaufströmung unterschieden werden. Die thermisch ausgebildete Strömung liegt dann vor, wenn sich die Dicke der Temperaturgrenzschicht nicht mehr ändert. An der Einlaufstelle herrscht eine maximale Temperaturdifferenz zwischen dem Fluid und der Rohrwand, was zu der Bildung der Temperaturgrenzschicht führt. Zu Beginn ist diese dünn und das Temperaturgefälle sehr hoch. Mit zunehemnder Rohrlänge wächst die Temperaturgrenzschicht an und das Temperaturgefällt nimmt ab. 

In der folgenden Grafik ist der thermische Anlauf sowie die ausgebildete thermische Strömung für die laminare Strömung aufgezeigt:

Rohrströmungen Temperaturanlauf, thermischer Anlauf, laminar

Für die laminarer Strömung kann die thermische Anlaufstrecke wie folgt berechnet werden:

Methode

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$l_a = 0,05 \cdot Re \cdot d_i \cdot Pr $     thermische Anlaufstrecke nach GRAETZ-NUßELT (laminare Strömung)

Man sieht deutlich, dass die thermische Anlaufstrecke für $Pr >> 1$ größer ist als die hydrodynamische Anlaufstrecke. Die Dicke der Temperaturgrenzschicht ist in einem solchen Fall auch größer als die Strömungsgrenzschicht.

Einige Werte für die Prandtl-Zahl

Flüssige Metalle: $Pr

Gase: $Pr \approx 0,7$

Flüssigkeiten: $Pr \approx 7$

$Öl, Zähe Flüssigkeiten: $Pr \approx 70$

Die Prandtl-Zahl kann auch aus der Temperaturgrenzschicht $\delta_{th}$ und der Strömungsgrenzschicht $\delta$ bestimmt werden. Dabei ergibt sich die Temperaturgrenzschicht aufgrund des Temperaturunterschieds zwischen Wand und Fluid und die Strömungsgrenzschicht aufgrund der Strömungsgeschwindigkeit:

Methode

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$Pr^3 = \frac{\delta}{\delta_{th}}$

Kühlen und Heizen

In der obigen Grafik ist die Temperaturverteilung innerhalb eines Rohres für die Kühlung des Fluids aufgezeigt. Die Fluidtemperatur $T_f$ (kann annähernd der Temperatur in der Mitte angenommen werden) ist größer als die Temperatur an der Wand $T_f > T_w$. Damit fließt ein Wärmestrom vom Fluid auf die Wand. Das Fluid kühlt ab. Beim Heizen ist es so, dass die Temperatur der Wand größer ist als die Fluidtemperatur $T_w > T_f$. Dann fließt der Wärmestrom von der Wand an das Fluid und das Fluid erwärmt sich. Das Temperaturprofil ergibt sich dann wie folgt:

Kühlen und Heizen konvektiver Wärmeübergang