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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Nußelt-Zahl für laminare Rohrströmungen

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Nußelt-Zahl für laminare Rohrströmungen

In diesem Abschnitt wird zunächst die laminare Rohrinnenströmung betrachtet. Es wird aufgezeigt, wie die Nußelt-Zahl $Nu_{d_i}$ bestimmt werden kann. Aus der Nußelt-Zahl kann dann die Wärmeübergangszahl $\alpha$ berechnet werden mit:

Methode

$\alpha = \frac{Nu_{d_i} \cdot \lambda}{d_i}$

mit

$Nu_{d_i}$ Nußelt-Zahl

$\lambda$ Wärmeleitfähigkeit des Fluids

$d_i$ Innendurchmesser des Rohrs

Bei der Durchströmung von Rohren muss bei der Bestimmung der Reyndols-Zahl für die charakteristische Länge der Rohrinnendurchmesser $d_i$ sowie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit $w$ herangezogen werden:

$Re = \frac{w \cdot d_i}{\nu}$.


Bei der Rohrströmung liegt eine laminare Strömung vor, wenn gilt

$Re < 2.300$   (laminare Rohrströmung).

Die im nachfolgenden aufgeführten Nußelt-Zahlen wurden unter der Annahme konstant bleibender Stroffwerte hergeleitet. Deswegen wird für die Stoffwerte des Fluids (z.B. $\nu$, $\lambda$ etc) die mittlere Temperatur des strömenden Fluids eingesetzt. Diese ergibt sich zu: 

Methode

$T_m = \frac{T_{ein} + T_{aus}}{2}$

mit

$T_{ein}$ Fluidtemperatur beim Eintritt

$T_{aus}$ Fluidtemperatur beim Austritt

Wie bereits im vorherigen Abschnitt aufgezeigt, muss zwischen einer hydrodynamisch und/oder thermisch ausgebildeten Strömung und einer Anlaufströmung unterschieden werden. Eine hydrodynamisch ausgebildete Strömung liegt dann vor, wenn sich das Geschwindigkeitspofil nicht mehr ändert. Bei der laminaren Rohrströmung geschieht dies recht schnell nach dem Einlauf, bei einer Einlauflänge von (nach Baehr/Stephan):

Methode

$l_a \approx 0,05 \cdot Re \cdot d_i$    hydrodynamische Anlaufstrecke laminare Rohrströmung

 Diese Anlaufstrecke liegt vor, wenn das Fluid mit gleichförmiger Geschwindigkeit in das Rohr einströmt.

Eine voll ausgebildete thermische Strömung liegt vor, wenn sich die Temperaturgrenzschicht nicht mehr ändert. Die thermische Anlaufstrecke ergibt sich zu (nach Graetz/Nußelt):

Methode

$l_a \approx 0,05 \cdot Re \cdot d_i \cdot Pr$    thermische Anlaufstrecke laminare Rohrströmung

Nußelt-Zahlen bei laminarer Strömung

Es werden im Folgenden die Formeln für die mittlere Nußelt-Zahl bei laminaren Rohrströmungen mit konstanter Wandtemperatur $T_w = const$ aufgezeigt. Hierbei ist die charakteristische Länge gleich dem Innenrohrdurchmesser: $L = d_i$. Die Gleichungen sind dem VDI-Wärmeatlas (2013, S.785 ff.) entnommen.

Ist die gesamte laminare Strömung voll ausgebildet, liegt also eine thermisch und strömungstechnisch ausgebildete laminare Rohrströmung vor, so ist die Wärmeübergangszahl unabhängig von der Reynolds- und Prandtl-Zahl und nimmt einen konstanten Wert an:

Methode

$Nu_{d_i, lam} = 3,66$       thermisch und strömungstechnisch ausgebildete Strömung

Eine solche voll ausgebildete Strömung liegt beispielsweise bei langen Rohren vor, hier hat nämlich die Strömung genügend Zeit sich voll auszubilden, sowohl hydrodynamisch als auch thermisch. Wie bereits im vorherigen Abschnitt aufgeführt, ist für $Pr >>1$ die Anlaufstrecke der thermischen Strömung größer als für die hydrodynamische Strömung. Bei langen Rohren hat diese aber genügend Zeit sich auszubilden. 

Handelt es sich hingegen um ein kurzes Rohr, so kann sich die hydrodynamische laminare Strömung schnell ausbilden, die thermische Strömung hingegen (für $Pr >> 1$) nicht. Handelt es sich also um eine hydrodynamisch ausgebildete Strömung mit thermischen Anlauf, so kann mit der folgenden Formel gerechnet werden:

Methode

$Nu_{d_i, lam} = 1,615 \cdot \sqrt{Re_{d_i} \cdot Pr \cdot \frac{d_i}{l}}$


Es ist auch möglich mit einer Abweichung von unter 1% die obigen beiden Bereiche mit der folgenden Gleichung abzudecken (nach Gnielinski):

Methode

$Nu_{lam} = \sqrt[3]{Nu_{d_i, 1}^3 + 0,7^3 + (Nu_{d_i, 2} - 0,7)^3}$

mit

$Nu_{d_i, 1} = 3,66$

$Nu_{d_i, 2} = 1,615 \cdot \sqrt{Re_{d_i} \cdot Pr \cdot \frac{d_i}{l}}$


gültig für:

$Re < 2.300$


Ist die Strömung hingegen nicht ausgebildet, handelt es sich also um einen thermischen und strömungstechnischen Anlauf, so bestimmt sich die Nußelt-Zahl zu (nach Martin):

Methode

$Nu_{d_i, lam} = \sqrt[3]{Nu_{d_i, 1}^3 + 0,7^3 + (Nu_{d_i, 2} - 0,7)^3 + Nu_{d_i, 3}^3}$

mit

$Nu_{d_i, 1} = 3,66$

$Nu_{d_i, 2} = 1,615 \cdot \sqrt{Re_{d_i} \cdot Pr \cdot \frac{d_i}{l}}$

$Nu_{d_i, 3} = \sqrt[6]{\frac{2}{1 + 22 \cdot Pr}} \cdot \sqrt{Re_{d_i} \cdot Pr \cdot \frac{d_i}{l}}$

gültig für:

$Re < 2.300$

Einzusetzende Kennzahlen

Für die oben angegebenen Formeln ist die folgende Reynolds-Zahl einzusetzen:

Methode

$Re_{d_i} = \frac{w \cdot d_i}{\nu}$

Hierbei muss als charakteristische Länge $L$ der Innendurchmesser des Rohrs $d_i$ berücksichtigt werden. Die Prandtl-Zahl ergibt sich durch:

Methode

$Pr = \frac{\nu}{a}$

mit

$a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$

Für die Stoffwerte ($\nu$, $\lambda$, $\rho$ und $c_p$) wird die mittlere Temperatur (wie weiter oben aufgeführt) angenommen.

Ist die mittlere Nußelt-Zahl bestimmt worden, so kann mittels der folgenden Gleichung der mittlere Wärmeübergangskoeffizient bestimmt werden:

Methode

$\alpha_m = \frac{Nu_{lam,di} \cdot \lambda}{d_i}$


Die Wärmestromdichte für das Rohr ergibt sich dann durch:

Methode

$\dot{q} = \alpha_m \cdot \triangle T_m$

mit

$\triangle T_m = \frac{T_{aus} - T_{ein}}{\ln \frac{T_w - T_{ein}}{T_w - T_{aus}}}$