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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Nußelt-Zahl für turbulente Rohrströmungen

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Nußelt-Zahl für turbulente Rohrströmungen

Es wird als nächstes die turbulente Rohrströmung betrachtet. Eine voll ausgebildete turbulente Rohrströmung liegt vor, wenn die Reynoldszahl den Wert $Re > 10^4$ annimmt. Auch hier wird für die charakterstische Länge $L$ der Innendurchmesser des Rohrs $d_i$ verwendet.

Die Anlaufstrecke, bis die Strömung turbulent voll ausgebildet ist beträgt:

Methode

$10 \cdot d_i < l_a < 60 \cdot d_i$

Nußelt-Zahl bei voll ausgebildeter turbulenter Strömung

Die mittlere Nußelt-Zahl kann laut VDI-Wärmeatlas (2013, S. 788) für turbulente Rohrströmungen bestimmt werden zu (nach Gnielinski):

Methode

$Nu_{d_i, turb} = \large{\frac{\xi}{8} \cdot \frac{Re_{d_i} \cdot Pr}{1 + 12,7 \cdot \sqrt{\frac{\xi}{8}} \cdot (Pr^{2/3} - 1)}} \cdot (1 + (\frac{d_i}{l})^{2/3})$    

gültig für:

$10^4 \le Re \le 10^6$

$0,1 \le Pr \le 1.000$

$\frac{d_i}{l} \le 1$ 


Dabei ist $\xi$ die Rohrreibungszahl, welche bestimmt werden kann zu (nach Konakov):

Methode

$\xi = (1,8 \cdot lg (Re_{d_i}) - 1,5)^{-2}$

Die Rohrreibungszahl $\xi$ hat einen Einfluss auf die Wärmeübergangszahl $\alpha$. Denn mit zunehmender Rohrreibungszahl $\xi$ steigt auch die Nußelt-Zahl $Nu$ und damit die Wärmeübergansgzahl $\alpha$. Die Wärmeübergangszahl kann aus der Nußelt-Zahl bestimmt werden zu:

Methode

$\alpha = \frac{Nu_{d_i, turb} \cdot \lambda}{d_i}$            Wärmeübergangszahl

Merke

Je größer die Rohrreibungszahl $\xi$ desto größer die Wärmeübergangszahl $\alpha$.


Die Funktion $(1 + (\frac{d_i}{l})^{2/3})$  innerhalb der obigen Gleichung spiegelt die Rohrlänge wieder.

Die Wärmeübergangszahl $\alpha$ wird von der Rohrlänge beeinflusst. Beim Rohreintritt ist die Dicke der Temperaturgrenzschicht $\delta_{th}$ gleich Null, da das Temperaturprofil nicht ausgebildetet ist. Mit der Gleichung

$\alpha = \frac{\lambda}{\delta_{th}}$

strebt die Wärmeübergangszahl $\alpha \to \infty$ nach unendlich, wenn die Dicke der Temperaturgrenzschicht gegen Null $\delta_{th} \to 0$ läuft. Mit zunehmender Weglänge nimmt die Temperaturgrenzschicht zu. Das bedeutet wiederum, dass die Wärmeübergangszahl abnimmt, solange, bis die Temperaturgrenzschicht bei einer ausgebildeteten Strömung konstant bleibt. Dann nämlich bleibt (bei konstanter Wärmeleitfähigkeit $\lambda$) auch die Wärmeübergangszahl konstant. Es ist nun aber nicht der lokale Wärmeübergangskoeffizient von Interesse, sondern der mittlere Wärmeübergangskoeffizient der gesamten Rohrlänge.

Einzusetzende Kennzahlen

Für die oben angegebenen Formeln ist die folgende Reynolds-Zahl einzusetzen:

Methode

$Re_{d_i} = \frac{w \cdot d_i}{\nu}$

Hierbei muss als charakteristische Länge $L$ der Innendurchmesser des Rohrs $d_i$ berücksichtigt werden. Die Prandtl-Zahl ergibt sich durch:

Methode

$Pr = \frac{\nu}{a}$

mit

$a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$

Für die Stoffwerte ($\nu$, $\lambda$, $\rho$ und $c_p$) wird die mittlere Temperatur (wie weiter oben aufgeführt) angenommen.

Ist die mittlere Nußelt-Zahl bestimmt worden, so kann mittels der folgenden Gleichung der mittlere Wärmeübergangskoeffizient bestimmt werden:

Methode

$\alpha_m = \frac{Nu_{d_i, turb} \cdot \lambda}{d_i}$


Die Wärmestromdichte für das Rohr ergibt sich dann durch:

Methode

$\dot{q} = \alpha_m \cdot \triangle T_m$

mit

$\triangle T_m = \frac{T_{aus} - T_{ein}}{\ln \frac{T_w - T_{ein}}{T_w - T_{aus}}}$