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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Freie Konvektion an horizontaler Wand

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Freie Konvektion an horizontaler Wand

In diesem Abschnitt soll die freie Konvektion an einer horizontalen Wand bzw. Fläche betrachtet werden. Hierbei müssen (wie bei der eben geneigten Wand) die folgenden Fälle unterschiedenen werden:

(1) Wärmeabgabe von Wand an das Fluid an der oberen Seite der horizontalen Wand (beheizte Wand).

(2) Wärmeaufnahme der Wand vom Fluid an der unteren Seite der horizontalen Wand (gekühlte Fläche).

(3) Wärmeabgabe von Wand an das Fluid an der unteren Seite der horizontalen Wand (beheizte Wand).

(4) Wärmeaufnahme der Wand vom Fluid an der oberen Seite der horizontalen Wand (gekühlte Fläche).

Freie Konvektion horizontale Wand


Handelt es sich um die Fälle (1) und (2) können laut VDI-Wärmeatlas (2013, S. 759) die folgende mittlere Nußelt-Zahl herangezogen werden:

Methode

$Nu = 0,766 [Ra \cdot f_2(Pr)]^{1/5}$             Laminare Strömung

mit

$f_2(Pr) = (1 + 0,536 \cdot Pr^{-11/20})^{-20/11}$

$Ra = Gr_{L_ü} \cdot Pr$

gültig für:

$Ra \cdot f_2(Pr) \le 7 \cdot 10^4$

$0 < Pr < \infty$

und

Methode

$Nu = 0,15 [Ra \cdot f_2(Pr)]^{1/3}$       Turbulente Strömung

mit

$f_2(Pr) = (1 + 0,536 \cdot Pr^{-11/20})^{-20/11}$

$Ra = Gr_{L_ü} \cdot Pr$

gültig für:

$Ra \cdot f_2(Pr) > 7 \cdot 10^4$

$0 < Pr < \infty$


Die obigen Nußelt-Zahlen gelten für horizontale Flächen bzw. Wände welche Teil einer unendlichen horizontalen Ebene darstellen. Das bedeutet also, dass Randeffekte vernachlässigt werden können, da die Nußelt-Zahlen für die Bereiche weit weg von den Wänden bestimmt worden sind. Eine Fußbodenheizung beispielsweise weist solche Wandeffekte auf, da diese keine unendliche horizontale Ebene darstellt, sondern durch die Wände begrenzt wird. Für endliche horizontale Ebenen wie die Fußbodenheizung können die obigen Nußelt-Zahlen also nicht angewandt werden. 

Bei den Fällen (3) und (4) hingegen kann für den laminaren Bereich die folgende Nußelt-Zahle verwendet werden:

Methode

$Nu = 0,6 [Ra \cdot f_1(Pr)]^{1/5}$       Laminare Strömung


mit

$f_1(Pr) = [1 + (\frac{0,492}{Pr})^{9/16}]^{-16/9}$


gültig für:

$10^3 < Ra \cdot f_1(Pr) < 10^{10}$

$0,001 < Pr < \infty$

Für den turbulenten Bereich liegen keine Ergebnisse vor.

Auch hier gilt wieder, dass die Fläche Teil einer unendlichen horizontalen Ebene sein muss, d.h. die Randeffekte vernachlässigt werden können.

Einzusetzenden Kennzahlen

Für horizontale Fläche gilt die Überströmungslänge::

Methode

$L_ü = \frac{a \cdot b}{2 (a + b)}$       Rechteckfläche

$L_ü = \frac{d}{4}$      Kreisscheibe


Die Überströmungslänge muss bei der Berechnung der Grashof-Zahl (siehe Abschnitt: Freie Konvektion) sowie für die Berechnung der Wärmeübergangszahl $\alpha$ berücksichtigt werden. Diese ergibt sich zu:

Methode

$\alpha = \frac{Nu_{L_ü} \cdot \lambda}{L_ü}$


Für die Berechnung der Nußelt-Zahlen wird zusätzlich die Prandtl-Zahl benötigt, diese ergibt sich zu:

Methode

$Pr = \frac{\nu}{a}$     Prandtl-Zahl

mit

$a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$


Für die Stoffwerte ($\nu$, $\lambda$, $\rho$ und $c_p$) wird die mittlere Temperatur des Fluids angenommen:

Methode

$T_m = \frac{T_{ein} + T_{aus}}{2}$

mit

$T_{ein}$  Eintrittstemperatur des Fluids

$T_{aus}$ Austrittstemperatur des Fluids


Ist die Wärmeübergangszahl bestimmt worden, kann als nächstes der Wärmestrom berechnet werden. Der Wärmestrom von der Wand auf das Fluid (1) und (3) ergibt sich zu: 

Methode

$\dot{Q} = \alpha \cdot A \cdot (T_w - T_f)$


Für den Wärmestrom von Fluid auf die Wand (2) und (4) wird die folgende Gleichung herangezogen:

Methode

$\dot{Q} = \alpha \cdot A \cdot (T_f - T_w)$