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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Instationäre Wärmeleitung

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Instationäre Wärmeleitung

Besitzt ein Körper die konstante Anfangstemperatur $T_1$ und bringt man diesen Körper in Kontakt mit einem anderen Körper unterschiedlicher Temperatur, so verändert sich die Temperatur im Körper zeitlich. Diese zeitliche Temperaturveränderung bezeichnet man als instationäre Wärmeleitung.

Die Differentialgleichung für das Temperaturfeld der instationären Wärmeleitung ist gegeben mit (auf die Herleitung sei verzichtet):

Methode

$\frac{dT}{dt} = a \cdot \frac{dT^2}{dx^2}$     Differentialgleichung Temperaturfeld

mit

$a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$

Dabei ist $a$ die Temperaturleitfähigkeit mit $\lambda$ als Wärmeleitfähigkeit, $\rho$ als Dichte und $c_p$ als spezifische Wärmekapazität. Die drei Werte zur Bestimmung der Temperaturleitfähigkeit können Tabellenwerken entnommen werden. Die Schnelligkeit des Temperaturausgleiches in einem Medium hängt nur von der Temperaturleitfähigkeit $a$ ab. Dabei besitzen Metalle und Gase die höchste Temperaturleitfähigkeit, das bedeutet, dass der Temperaturausgleich schnell erfolgt. Flüssigkeiten hingegen besitzen eine geringe Temperaturleitfähigkeit. Der Temperaturausgleich erfolgt demnach langsam. 

Beispiel

Ein gutes Beispiel dafür ist ein See. Selbst wenn es schon einige Tage richtig warm draußen war und die Sonne schon viel Wärme strahlt, benötigt der See meistens einige Tage bis Wochen, bis die optimale Badetemperatur erreicht ist. Wenn diese aber einmal erreicht ist, dann kann der See die Wärme lange halten, selbst wenn einige Tage keine Sonne scheint. Wasser benötigt demnach eine lange Zeit zum Temperaturausgleich und besitzt demnach eine geringe Temperaturleitfähigkeit.

Lösung für eine unendliche Platte

Instationäre Wärmeleitung ebene Platte

Gegeben sei eine unendlich langen Platte ($s$ ist sehr viel kleiner als die übrigen Abmessungen) mit der konstanten Anfangstemperatur $T_A$ zum Zeitpunkt $t = 0$. Die Plattentemperatur wird nun plötzlich abgesenkt ( $\alpha \to \infty$). Es ergibt sich für das eindimensionale Temperaturfeld (Lösung der Differentialgleichung):

Methode

$\frac{T(x,t) - T_{\infty}}{T_A - T_{\infty}} = \frac{4}{\pi} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot e^{\frac{-n^2 \cdot \pi^2 \cdot a \cdot t}{4 \cdot s^2}} \cdot \sin (\frac{n \cdot \pi \cdot x}{2 \cdot s})$

Die obige Gleichung konvergiert zwar schnell ist aber sehr zeitaufwendig. Deswegen werden zur Bestimmung der Temperaturen innerhalb eines Körpers unterschiedliche Diagramme herangezogen. In den folgenden Abschnitten soll gezeigt werden, wie man mittels Diagramme die Temperaturen in der Mitte und an der Oberfläche von Körpern in Abhängigkeit von der Zeit und der Temperaturleitfähigkeit bestimmen kann.