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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Dimensionslose Kennzahlen der instationären Wärmeleitung

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Dimensionslose Kennzahlen der instationären Wärmeleitung

Zur Bestimmung der Temperatur in der Mitte des betrachteten Körpers und an der Oberfläche zu einer bestimmten Zeit $t$ können verschiedene Diagramme herangezogen werden. Für diese Diagramme werden dimensionlose Kennzahlen benötigt, welche in diesem Abschnitt aufgeführt werden sollen.

Die dimensionlose Temperaturdifferenz ergibt sich zu:

Methode

$ \Theta = \frac{T(x,t) – T_{\infty}}{T_A – T_{\infty}}$

mit

$T(x,t)$ Temperatur zu einer bestimmten Zeit $t$

$T_{\infty}$  Umgebungstemperatur

$T_A$ Anfangstemperatur des Körpers


Die Temperatur zu einer bestimmen Zeit $t$ ergibt sich dann durch:

Methode

$T(x,t) = T_{\infty} + (T_A – T_{\infty}) \cdot \Theta$


Dabei kann $\Theta$ aus Diagrammen abgelesen werden. Es kann zum einen die Temperaturdifferenz zur Zeit $t$ in der Mitte des betrachteten Körpers $\Theta_m$ bestimmt werden, dann erhält man die Temperatur in Körpermitte durch:

Methode

$T_m (x,t) = T_{\infty} + (T_A – T_{\infty}) \cdot \Theta_m$


Es kann außerdem die Temperaturdifferenz zur Zeit $t$ an der Oberfläche des Körpers $\Theta_O$ abgelesen werden. Dann erhält man die Temperatur an der Oberfläche des Körpers zu:

Methode

$T_O (x,t) = T_{\infty} + (T_A – T_{\infty}) \cdot \Theta_O$


Die Temperaturdifferenz $\Theta$ ist eine Funktion der Biot-Zahl und der Fourier-Zahl:

Methode

$\Theta = f(Bi, Fo)$


Die Temperaturdifferenz kann also mit Kenntnis der Biot-Zahl und der Fourier-Zahl aus den Diagrammen abgelesen werden.


Die Biot-Zahl ergibt sich zu:

Methode

$Bi = \frac{\alpha \cdot s}{\lambda}$           Biot-Zahl

mit

$\alpha$ = Wärmeübergangzahl

$s$ = halbe Plattendicke

$\lambda$ = Wärmeleitfähigkeit


Die Fourier-Zahl ergibt sich durch:

Methode

$Fo = \frac{a \cdot t}{s^2}$          Fourier-Zahl

mit

$a = \frac{\lambda}{c_p \cdot \rho}$ = Temperaturleitfähigkeit

$t$ = Zeit

$s$ = halbe Plattendicke

Wärmemenge und Wärmestrom

Die Wärmemenge kann mittels der Differenz der Anfangstemperatur zur Temperatur in Körpermitte bestimmt werden:

Methode

$Q = m \cdot c_p \cdot (T_A - T_m)$

mit

$c_p$ spezifische Wärmekapazität bei konstanten Druck

$m = \rho \cdot V$ Masse

Der Wärmestrom wird dann bestimmt zu:

Methode

$\dot{Q} = \dot{m} \cdot c_p (T_A - T_m)$

mit

$\dot{m} = \rho \cdot \dot{V}$  Massenstrom

$\frac{V}{dt} = \dot{V} = w \cdot A$  Volumenstrom

$w$  mittlere Strömumgsgeschwindigkeit

$A$ Querschnittsfläche

Die Vorgehensweise ist also wie folgt:

Es wird zunächst die Fourier-Zahl und die Biot-Zahl aus den gegebenen Werte bestimmt. Danach wird die dimensionslose Temperaturdifferenz $\Theta$ für die Oberfläche bzw. für die Mitte des betrachteten Körpers zu einer bestimmen Zeit aus Diagrammen abgelesen. Es kann dann mittels der obigen Gleichungen die Temperatur an der Oberfläche $T_O$ bzw. der Mitte des Körpers $T_m$ berechnet werden. 

Natürlich ist es auch möglich aus den Diagrammen die Fourier-Zahl abzulesen (bei gegebener Biot-Zahl und gegebener dimensionsloser Temperaturdifferenz) bzw. die Biot-Zahl (bei gegebener Fourier-Zahl und gegebener dimensionsloser Temperaturdifferenz).

Zur Bestimmung der dimensionslosen Temperaturen werden im folgenden Abschnitt die Diagramme für eine ebene Platte, für einen Hohlzylinder und für die Hohlkugel aufgeführt.