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Wärmeleitung in einem Feststoff > Instationäre Wärmeleitung:

Dimensionslose Kennzahlen der instationären Wärmeleitung

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Zur Bestimmung der Temperatur in der Mitte des betrachteten Körpers und an der Oberfläche zu einer bestimmten Zeit $t$ können verschiedene Diagramme herangezogen werden. Für diese Diagramme werden dimensionlose Kennzahlen benötigt, welche in diesem Abschnitt aufgeführt werden sollen.

Die dimensionlose Temperaturdifferenz ergibt sich zu:

Methode

$ \Theta = \frac{T(x,t) – T_{\infty}}{T_A – T_{\infty}}$

mit

$T(x,t)$ Temperatur zu einer bestimmten Zeit $t$

$T_{\infty}$  Umgebungstemperatur

$T_A$ Anfangstemperatur des Körpers


Die Temperatur zu einer bestimmen Zeit $t$ ergibt sich dann durch:

Methode

$T(x,t) = T_{\infty} + (T_A – T_{\infty}) \cdot \Theta$


Dabei kann $\Theta$ aus Diagrammen abgelesen werden. Es kann zum einen die Temperaturdifferenz zur Zeit $t$ in der Mitte des betrachteten Körpers $\Theta_m$ bestimmt werden, dann erhält man die Temperatur in Körpermitte durch:

Methode

$T_m (x,t) = T_{\infty} + (T_A – T_{\infty}) \cdot \Theta_m$


Es kann außerdem die Temperaturdifferenz zur Zeit $t$ an der Oberfläche des Körpers $\Theta_O$ abgelesen werden. Dann erhält man die Temperatur an der Oberfläche des Körpers zu:

Methode

$T_O (x,t) = T_{\infty} + (T_A – T_{\infty}) \cdot \Theta_O$


Die Temperaturdifferenz $\Theta$ ist eine Funktion der Biot-Zahl und der Fourier-Zahl:

Methode

$\Theta = f(Bi, Fo)$


Die Temperaturdifferenz kann also mit Kenntnis der Biot-Zahl und der Fourier-Zahl aus den Diagrammen abgelesen werden.


Die Biot-Zahl ergibt sich zu:

Methode

$Bi = \frac{\alpha \cdot s}{\lambda}$           Biot-Zahl

mit

$\alpha$ = Wärmeübergangzahl

$s$ = halbe Plattendicke

$\lambda$ = Wärmeleitfähigkeit


Die Fourier-Zahl ergibt sich durch:

Methode

$Fo = \frac{a \cdot t}{s^2}$          Fourier-Zahl

mit

$a = \frac{\lambda}{c_p \cdot \rho}$ = Temperaturleitfähigkeit

$t$ = Zeit

$s$ = halbe Plattendicke

Wärmemenge und Wärmestrom

Die Wärmemenge kann mittels der Differenz der Anfangstemperatur zur Temperatur in Körpermitte bestimmt werden:

Methode

$Q = m \cdot c_p \cdot (T_A - T_m)$

mit

$c_p$ spezifische Wärmekapazität bei konstanten Druck

$m = \rho \cdot V$ Masse

Der Wärmestrom wird dann bestimmt zu:

Methode

$\dot{Q} = \dot{m} \cdot c_p (T_A - T_m)$

mit

$\dot{m} = \rho \cdot \dot{V}$  Massenstrom

$\frac{V}{dt} = \dot{V} = w \cdot A$  Volumenstrom

$w$  mittlere Strömumgsgeschwindigkeit

$A$ Querschnittsfläche

Die Vorgehensweise ist also wie folgt:

Es wird zunächst die Fourier-Zahl und die Biot-Zahl aus den gegebenen Werte bestimmt. Danach wird die dimensionslose Temperaturdifferenz $\Theta$ für die Oberfläche bzw. für die Mitte des betrachteten Körpers zu einer bestimmen Zeit aus Diagrammen abgelesen. Es kann dann mittels der obigen Gleichungen die Temperatur an der Oberfläche $T_O$ bzw. der Mitte des Körpers $T_m$ berechnet werden. 

Natürlich ist es auch möglich aus den Diagrammen die Fourier-Zahl abzulesen (bei gegebener Biot-Zahl und gegebener dimensionsloser Temperaturdifferenz) bzw. die Biot-Zahl (bei gegebener Fourier-Zahl und gegebener dimensionsloser Temperaturdifferenz).

Zur Bestimmung der dimensionslosen Temperaturen werden im folgenden Abschnitt die Diagramme für eine ebene Platte, für einen Hohlzylinder und für die Hohlkugel aufgeführt.

Vorstellung des Online-Kurses Wärmeübertragung: WärmeleitungWärmeübertragung: Wärmeleitung
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Wärmeübertragung: Wärmeleitung

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Wärmeübertragung: Überblick
    • Einleitung zu Wärmeübertragung: Überblick
  • Arten der Wärmeübertragung
    • Einleitung zu Arten der Wärmeübertragung
  • Wärmeleitung in einem Feststoff
    • Einleitung zu Wärmeleitung in einem Feststoff
    • Stationäre Wärmeleitung
      • Einleitung zu Stationäre Wärmeleitung
      • Fourier'sche Gesetz
      • Wärmeleitung durch eine ebene Wand
        • Einleitung zu Wärmeleitung durch eine ebene Wand
        • Wärmeübergangszahl einer ebenen Wand
        • Wärmeübergangszahl der Grenzschicht
        • Wärmedurchgangszahl einer ebenen Wand
      • Wärmeleitung durch eine zylindrische Wand
        • Einleitung zu Wärmeleitung durch eine zylindrische Wand
        • Wärmeübergangszahl einer zylindrischen Wand
        • Wärmeübergangszahl der Grenzschicht (Hohlzylinder)
        • Wärmedurchgangszahl einer zylindrischen Wand
      • Wärmeleitung durch eine Hohlkugelwand
        • Einleitung zu Wärmeleitung durch eine Hohlkugelwand
        • Wärmeübergangszahl einer Hohlkugelwand
        • Wärmeübergangszahl der Grenzschicht (Hohlkugelwand)
        • Wärmedurchgangszahl einer Hohlkugelwand
      • Widerstände der Wärmeleitung
        • Einleitung zu Widerstände der Wärmeleitung
        • Wärmeübergangswiderstand der Grenzschichten
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        • Wärmedurchgangswiderstand
        • Wärmewiderstand
      • Wärmeübergang an der Oberfläche
        • Einleitung zu Wärmeübergang an der Oberfläche
        • Unendlich langer Stab
        • Endlich langer Stab
        • Wärmeübergang am Stabende
        • Wärmestrom am Stabanfang
        • Temperaturvorgabe am Stabanfang und -ende
        • Rippenwirkungsgrad
        • Anwendungsbeispiel: Temperaturverlauf
    • Instationäre Wärmeleitung
      • Einleitung zu Instationäre Wärmeleitung
      • Dimensionslose Kennzahlen der instationären Wärmeleitung
      • Diagramme für den Temperaturverlauf
      • Anwendungsbeispiele: Instationäre Wärmeleitung
  • Erzwungene Konvektion
    • Einleitung zu Erzwungene Konvektion
    • Laminare und turbulente Grenzschicht
    • Strömungs- und Temperaturgrenzschicht
    • Reynolds-Zahl und Prandtl-Zahl
    • Nußelt-Zahl
    • Rohrströmungen (kreisförmig)
      • Einleitung zu Rohrströmungen (kreisförmig)
      • Nußelt-Zahl für laminare Rohrströmungen
      • Nußelt-Zahl für turbulente Rohrströmungen
      • Nußelt-Zahl für den Übergangsbereich
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      • Anwendungsbeispiel: Berechnung der Wärmeübergangszahl (turbulente Strömung)
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