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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Fourier'sche Gesetz

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Fourier'sche Gesetz

Der französische Physiker und Mathematiker John Babtiste Joseph Fourier fand um 1822 heraus, dass die Wärmemenge $Q$, die in einer bestimmten Zeit $\triangle t$ durch eine Wand mit der Dicke $x$ und der Fläche $A$ mit einem Temperaturgefälle mittels der folgenden Formel beschrieben werden kann:

Methode

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$Q = - \lambda \cdot A \cdot t \cdot \frac{dT}{dx}$       Fourier'sche Gesetz

mit

$Q$ = Wärmemenge in [Ws]

$\lambda$ = Wärmeleitfähigkeit

$A$ = Wandfläche in [m²]

$t$ = Zeit in [s]

$\frac{dT}{dx}$ = Temperaturgradient (negative Steigung)


In der folgenden Grafik ist visualiert wie die Wärmemenge $Q$ durch eine adiabte Wand mit zwei unterschiedlichen Oberflächentemperaturen $T_1$ und $T_2$ fließt. Dabei fließt die Wärme vom Ort höherer Temperatur zum Ort niedrigerer Temperatur. Es muss also immer ein Temperaturgefälle vorliegen. In der folgenden Grafik fließt der Wärmestrom von links nach rechts, also vom Ort höherer Temperatur zum Ort niedrigerer Temperatur $T_1 > T_2$.

symbolische Wand eines Rohbaus
symbolische Wand eines Rohbaus
Wärmeleitung ebene Wand
Wärmeleitung ebene Wand

Dabei stellt $\frac{dT}{dx}$ das Temperaturgefälle in Richtung des Wärmestroms dar und $\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit des betrachteten Materials der Wand. Die obige Formel enthält ein negatives Vorzeichen, da die Temperatur abfällt und demnach eine negative Steigung vorliegt.

Wärmeleitfähigkeit

Der Koeffizient $\lambda$ wird als Wärmeleitfähigkeit bezeichnet und stellt eine reine Materialgröße dar. Die Einheit ist durch die obige Gleichung definiert und beträgt:

$\frac{W}{m \cdot K}$

Merke

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Praktisch betrachtet ist die Wärmeleitfähigkeit  die Wärmemenge $Q$ (in Wattsekunde [Ws]), die in der Zeit $t = 1 s$ durch eine $\triangle x = 1 m$ dicke Wand der Fläche $A = 1 m^2$ fließt, wenn der Temperaturunterschied $T_1 - T_2 = 1 K$ ist. 

Bei der Wärmeleitfähigkeit handelt es sich um eine Funktion in Abhängigkeit von der Temperatur des betrachteten Materials, welche mit steigender Temperatur zunimmt. Da hohe Temperaturgefälle nur in Ausnahmefällen auftreten, kann zur Berechnung der Wärmemenge die mittlere Wärmeleitfähigkeit herangezogen werden. Diese kann bestimmt werden, indem die Wärmeleitfähigkeit der mittleren Temperatur herangezogen wird:

Methode

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$\lambda_m = \lambda (\frac{T_1 + T_2}{2})$

Merke

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  • Die Wärmeleitfähigkeit von Metallen (z.B. Silber, Gold, Aluminium) ist wesentlich größer als die von nicht-metallischen Feststoffen (z.B. Kunststoff).
  • Die Wärmeleitfähigkeit von nicht metallischen Feststoffen ist größer als die von Flüssigkeiten (z.B. Wasser, Öl) und 
  • Die Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten ist wiederum deutlich größer als die von Gasen (z.B. Helium, Wasserstoff).

In der folgenden Tabelle sind einige Zahlenwerte für die Wärmeleitfähigkeit von Metallen, Feststoffen, Flüssigkeiten und Gasen angegeben:

StoffAluminium (20°C)Beton (20°C) Asphalt (20°C) Wasser (20°C)   Wasserstoff (0°C) 
$\lambda$ $[\frac{W}{m \; K}]$     2381,20,70,61,7

Wärmestrom

Der Wärmestrom $\dot{Q}$ ist die pro Zeiteinheit übertragende Wärmemenge ($\frac{dQ}{dt}$). Wird die obige Formel also nach der Zeit $t$ abgeleitet, so ergibt sich der Wärmestrom:

$Q = - \lambda \cdot A \cdot t \cdot \frac{dT}{dx}$ 


Ableitung nach $t$ ergibt den Wärmestrom:

Methode

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$\dot{Q} = \frac{dQ}{dt} = - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx}$ 

Es wird davon ausgegangen, dass die Temperaturdifferenz nur in $x$-Richtung auftritt und die senkrechten Temperaturen konstant bleiben. 

Wärmestromdichte

Die Wärmestromdichte $\dot{q}$ ist die pro Zeit- und Flächeneinheit übertragene Wärmemenge ($\frac{\dot{Q}}{A}$):

Methode

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$\dot{q} = \frac{\dot{Q}}{A} =  - \lambda \cdot \frac{dT}{dx}$

Angenommen es liegt ein Material vor, welches eine temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit aufweist, so erhält man mittels Trennung der Variablen und Integration folgende Wärmestromdichte:


Trennung der Variablen:

$\dot{q} \cdot dx = - \lambda \cdot dT$

Integralbildung:

$\dot{q} \int_{x_1}^{x_2} dx = - \int_{T_1}^{T_2} \lambda (T) \cdot dT$

Einsetzen der mittleren Wärmeleitfähigkeit $\lambda_m = const$:

$\dot{q} \int_{x_1}^{x_2} dx = - \lambda_m \int_{T_1}^{T_2}\ \cdot dT$

Auflösen des Intergals (mit $x_2 - x_1 = s$):

$\dot{q} \cdot s = - \lambda_m (T_2 - T_1)$   

mit $T_1 > T_2$ ergibt sich:

$\dot{q} \cdot s =  \lambda_m (T_1 - T_2)$   

Und demnach gilt für die Wärmestromdichte:

Methode

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$\dot{q} =  \frac{\lambda_m}{s} (T_1 - T_2)$   

mit

$s$ = Wanddicke in [m]

$T_1$ = maximale Oberflächentemperatur 

$T_2$ = minimale Oberflächentemperatur 

$T_1 - T_2$ Temperaturdifferenz in [K]

$\lambda_m$ = mittlere Wärmeleitfähigkeit in [W/m-K]

Beispiel: Bestimmung der mittleren Wärmeleitfähigkeit

Beispiel

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Gegeben sei die Wärmeleitfähigkeit von Wasser bei einer Temperatur von 40 °C mit $\lambda (40°C) = 0,63 \frac{W}{m \; K}$ und bei einer Temperatur von 0° mit $\lambda (0°C) = 0,55 \frac{W}{m \; K}$. Außerdem sei die Wärmeleitfähigkeit bei einer Temperatur von 20 °C gegeben mit $\lambda (20°C) = 0,6 \frac{W}{m \; K}$.

 Bestimmen Sie die mittlere Wärmeleitfähigkeit!

Die mittlere Wärmeleitfähigkeit kann bestimmt werden, indem die Wärmeleitfähigkeit der Durchschnittstemperatur herangezogen wird:

$\lambda_m = \lambda (\frac{T_{max} + T_{min}}{2})$

Die Durchschnittstemperatur beträgt:

$T_m = \frac{T_{max} + T_{min}}{2} = \frac{40°C + 0°C}{2} = 20°C$.

$\lambda_m = \lambda (20°C) = 0,6 \frac{W}{m \; K}$.