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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmeleitung durch eine ebene Wand

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In diesem Abschnitt soll die Wärmeleitung durch eine ebene Wand betrachtet werden.

Wie bereits im vorherigen Abschnitt aufgezeigt, ergibt sich der Wärmestrom durch eine ebene Wand zu:

Methode

$\dot{Q} = - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx}$ 

Die Trennung der Veränderlichen führt zu:

$\dot{Q} \cdot dx = - \lambda \cdot A \cdot dT$ 


Es wird im Weiteren davon ausgegangen, dass $A = const$ und $\lambda = \lambda_m = const$, demnach gilt:

$\dot{Q} \int_{x_1}^{x_2} dx = - \lambda_m \cdot A \int_{T_1}^{T_2} dT$ 


Auflösen des Integrals:

$\dot{Q} \cdot  (x_2 - x_1) = - \lambda_m \cdot A \cdot (T_2 - T_1)$ 

mit $x_2 - x_1 = s$ und $T_1 > T_2$ gilt demnach:

Methode

$\dot{Q} = \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2)$

mit

$\lambda_m$ = mittlere Wärmeleitfähigkeit

$A$ = Wandfläche

$T_1$ = maximale Oberflächentemperatur

$T_2$ = minimale Oberflächentemperatur

$T_1 - T_2$ Temperaturdifferenz in [K]

$s$ = Wanddicke

Alternativ kann man natürlich das Minuszeichen stehen lassen, dann müssen die Temperaturen aber wieder vertauscht werden:

$\dot{Q} = -\frac{\lambda}{s} \cdot A \cdot (T_2 - T_1)$

Dies stellt die Gleichung zur Bestimmung des Wärmestroms durch eine ebene Wand dar. 

Wärmestrom durch eine ebene Wand mit mehreren Schichten

Dämmung als eine Wandschicht
Dämmung als eine Wandschicht
Mehrschichtige Fassade
Mehrschichtige Fassade

Eine Wand kann aus mehreren Schichten mit unterschiedlichen Materialen bestehen. Das bedeutet, dass damit auch unterschiedliche Wärmeleitfäigkeiten $\lambda$ vorliegen. 

Wärmeleitung ebene Wand mehrere Schichten

Angenommen es handelt sich um eine Wand mit 3 Schichten (1-3). Die 3 Wärmeströme ergeben sich zu:

$\dot{Q} = \frac{\lambda_{m,1}}{s_1} \cdot A \cdot (T_1 - T_2) $

$\dot{Q} = \frac{\lambda_{m,2}}{s_2} \cdot A \cdot (T_2 - T_3) $

$\dot{Q} = \frac{\lambda_{m,3}}{s_3} \cdot A \cdot (T_3 - T_4)$

Auflösen nach den Temperaturdifferenzen:

$T_1 - T_2 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_1}{\lambda_{m,1}}$

$T_2 - T_3 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_2}{\lambda_{m,2}}$

$T_3 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_3}{\lambda_{m,3}}$

Addition der Temperaturdifferenzen:

$T_1 - T_2 + T_2 - T_3 + T_3 - T_4 = T_1 - T_4$

Daraus folgt:

$T_1 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_3}{\lambda_{m,3}}$

$T_1 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} ( \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}})$


Die Gleichung nach $\dot{Q}$ auflösen ergibt dann:

Methode

$\Large{\dot{Q} = \frac{(T_1 - T_4) \cdot A}{ \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}}}}$

Beispiel: Wärmestrom durch ebene Wand

Beispiel

Eine 45m² große Hauswand mit einer Innentemperatur von 20°C und einer Außentemperatur von 0°C besteht aus einer Betonwand. Die Wärmeleitfähigkeit von Beton sei gegeben mit $\lambda (10°C ) = 2,1 \frac{W}{m K}$. Die Hauswand sei 25 cm dick.

Bestimmen Sie den Wärmestrom $Q$!

Die Bestimmung des Wärmestroms erfolgt durch:

$\dot{Q} = \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2)$

Einsetzen der Werte führt zu:

$\dot{Q} = \frac{2,1 \frac{W}{m K}}{0,25 m} \cdot 45m^2 \cdot (293,15 - 273,15)K = 7.560 W$

Merke

Es kann natürlich auch die Temperaturdifferenz: (20 - 0) gewählt werden, da die Temperaturdifferenz in °C der in K entspricht. Es muss aber als Formelzeichen K verwendet werden.

Beispiel: Wärmestrom durch mehrere Schichten

Beispiel

Eine 50 m² große Hauswand mit einer Außentemperatur von -5°C und einer Innentemperatur von 18°C besteht aus vier Schichten. Die Schicht 1 besitzt einen Wärmeleitkoeffizienten von $\lambda_1 = 0,9 \frac{W}{m \; K}$, Schicht 2 einen Wärmeleitkoeffizienten von $\lambda_2 = 0,6 \frac{W}{m \; K}$, Schicht 3 einen Wärmeleitkoeffizienten von $\lambda_3 = 0,12 \frac{W}{m \; m}$ und Schicht 4 einen Wärmeleitkoeffizienten $\lambda_4 = 0,3 \frac{W}{m \; K}$. Schicht 1 ist 2 cm, Schicht 2 ist 30 cm, Schicht 3 ist 5 cm und Schicht 4 ist 2 cm dick. Bestimmen Sie den Wärmestrom!

Es wird die folgende Formel herangezogen:

$\dot{Q} = \frac{(T_{max} - T_{min}) \cdot A}{ \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}} + \frac{s_4}{\lambda_{m,4}}}$

Die Formel wurde um die 4. Schicht erweitert.


Einsetzen der Werte:

$\dot{Q} = \frac{(291,15 - 268,15) K \cdot 50 m^2}{ \frac{0,02 m}{0,9 \frac{W}{m \; K}} + \frac{0,3 m}{0,6 \frac{W}{m \; K}} + \frac{0,05 m}{0,12 \frac{W}{m \; K}} + \frac{0,02 m}{0,3 \frac{W}{m \; K}}} $

$\dot{Q} = \frac{1.150 K m^2}{ 1,0056 \frac{m^2 K}{W}} = 1.143,6 W$

Video: Wärmeleitung durch eine ebene Wand