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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Wärmeleitung durch eine Hohlkugelwand

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmeleitung durch eine Hohlkugelwand

In diesem Abschnitt wird der Wärmestrom für Hohlkugelwände aufgeführt. Auch hier wird die Ausgangsformel für den Wärmestrom angewandt:

Methode

$\dot{Q} = - \lambda_m \cdot A \frac{dT}{dr}$


Die Oberfläche einer Hohlkugel kann bestimmt werden durch:

$A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$.

Auch hier gilt wie bei dem Kreiszylinder, dass die Oberfläche der Innenwand kleiner ist als die Oberfläche der Außenwand. Es handelt sich also bei dem Radius $r$ nicht um eine Konstante, sondern um eine Veränderliche. Einsetzen in die obige Formel und Trennung der Veränderlichen führt zu:

$\dot{Q} = - \lambda_m \cdot 4 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot \frac{dT}{dr}$

$\frac{dr}{r^2} = - \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot dT$

Integralbildung:

$\int_{r_i}^{r_a} \frac{1}{r^2} \; dr  = - \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot \int_{T_i}^{T_a} dT$

Auflösen der Integrale:

$ -\frac{1}{r} |_{r_i}^{r_a}  = - \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot T |_{T_i}^{T_a}$

Einsetzen der Grenzen:

$ - (\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_i})  = - \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot (T_a - T_i)$

Mit $T_i > T_a$ ergibt sich dann:

$ - \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_i}  = \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\dot{Q}} \cdot (T_i - T_a)$

Auflösen nach $\dot{Q}$ ergibt dann den Wärmestrom für eine Hohlkugelwand:

Methode

$\large{\dot{Q} =  \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a} } \cdot (T_i - T_a)}$

Der Wärmestrom in der Hohlkugel nimmt eine Sonderstellung ein. Wird der Außenradius der Hohlkugel unendlich groß, so nimmt der Wärmestrom nicht den Wert 0 an, sondern einen Mindestwert. Dies wird an der obigen Gleichung deutlich. Angenommen $r_a \to \infty$, so wird der Bruch $\frac{1}{r_a} \to 0$. Das bedeutet:

$\large{\dot{Q} =  \lambda_m \cdot \frac{4 \cdot \pi}{\frac{1}{r_i} } \cdot (T_i - T_a)}$

Es verbleibt also $\frac{1}{r_i}$ unter dem Bruch. Dies kann man auch schreiben zu:

Methode

$\dot{Q} =  \lambda_m \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_i \cdot (T_i - T_a)$     Mindestwärmestrom der Hohlkugelwand

Hohlkugelwand für mehrere Schichten

Die Hohlkugelwand kann aus mehreren Schichten bestehen. Der gesamte Wärmestrom durch alle Schichten berechnet sich wie bei der ebenen Wand bzw. zylindrischen Wand. Am Ende resultiert der Wärmestrom für eine Hohlkugelwand bestehend aus drei Schichten zu:

Methode

$\Large{\dot{Q} = \frac{4 \cdot \pi \cdot (T_1 - T_4)}{\frac{1}{\lambda_{m1}} \cdot (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) + \frac{1}{\lambda_{m2}} \cdot (\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3})+ \frac{1}{\lambda_{m3}} \cdot (\frac{1}{r_3} - \frac{1}{r_4})}}$