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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Wärmedurchgangszahl einer Hohlkugelwand

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmedurchgangszahl einer Hohlkugelwand

Die Wärmedurchgangszahl $U$ gibt an, wie groß der Wärmestrom $\dot{Q}$ pro Flächeneinheit $m^2$ und pro Kelvin Temperaturdifferenz ist, welcher durch eine Wand von einem Medium (z.B. Innenluft) auf das andere Medium (z.B. Außenluft) übertragen wird:

Methode

$U = \large{\frac{\dot{Q}}{A \cdot \triangle T}}$.

Die Wärmedurchgangszahl hat die Einheit $\frac{W}{m^2 \cdot K}$. Der Wärmestrom, welcher hier benötigt wird, ist der gesamte Wärmestrom der vom Medium 1 auf das Medium 2 übertragen wird.

Bestimmung des gesamten Wärmestroms

Um den gesamten Wärmestrom berechnen zu können, müssen die Wärmeströme der Grenzschichten und der Wärmestrom durch die Hohlkugelwand herangezogen werden. Diese Wärmeströme sind den vorherigen Abschnitten zu entnehmen. Aufgelöst nach den Temperaturdifferenzen ergibt sich dann:

$T_{GR,i} - T_i = \Large{\frac{\dot{Q}}{\alpha_i \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_i^2} }$ 

$T_i - T_a = \Large{\frac{\dot{Q}}{\alpha_{w,a} \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_a^2}}$ 

$T_{GR,a} - T_a = \Large{\frac{\dot{Q}}{\alpha_a \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_a^2}}$ 

Merke

Da die Wärmedurchgangszahl $U$ aus den Wärmeübergangszahlen bestimmt wird, muss der Wärmestrom durch die Wand (mittlere Gleichung) aus dem Abschnitt Wärmeübergangszahl einer Hohlkugelwand verwendet werden, in welchem die Außenwand als Bezugsfläche herangezogen worden ist.

Der gesamte Wärmestrom, durch die Grenzschichten und durch eine Hohlkugelwand ergibt sich dann, indem zunächst die Temperaturdifferenzen miteinander addiert werden:

$T_{GR,i} - T_i + T_i - T_a + T_a - T_{GR,a} = T_{GR,i} - T_{GR,a}$.

Danach werden die rechten Seite der Gleichungen miteinander addiert:

$T_{GR,i} - T_{GR,a} = \Large{\frac{\dot{Q}}{\alpha_i \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_i^2}  + \frac{\dot{Q}}{\alpha_{w,a} \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_a^2} + \frac{\dot{Q}}{\alpha_a \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_a^2}}$


Der gesamte Wärmestrom ergibt sich dann zu:

Methode

$\dot{Q} = \Large{\frac{T_{GR,i} - T_{GR,a}}{\frac{1}{\alpha_i \cdot r_i^2} + \frac{1}{\alpha_{w,a} \cdot r_a^2} + \frac{1}{\alpha_a \cdot r_a^2}} \cdot 4 \cdot \pi }$

Wärmedurchgangszahl Hohlkugelwand

Nachdem der Wärmestrom $\dot{Q}$ von dem einen Medium 1 zum anderen Medium 2 durch eine Hohlkugelwand und die Grenzschichten bestimmt worden ist, wird als nächstes die Wärmedurchgangszahl bestimmt. Hierzu wird der gesamte Wärmestrom $\dot{Q}$ in die Gleichung für die Wärmedurchgangszahl $U$ eingesetzt:

$U = \large{\frac{\dot{Q}}{A_a \cdot \triangle T}}$.

Da für die Berechnung der Wärmeübergangszahl durch die Hohlkugelwand die Außenwand herangezogen worden ist, muss auch für die Formel der Wärmedurchgangszahl $U$ die Fläche der Außenwand berücksichtigt werden.

Einsetzen des gesamten Wärmestroms $\dot{Q}$ in die obige Formel ergibt dann die Wärmeübergangszahl für die Hohlkugelwand bezogen auf die Außenwand:

Methode

$U = \Large{\frac{1}{\frac{r_a^2}{\alpha_i \cdot r_i} + \frac{r_a}{\alpha_{w,a}} + \frac{r_a}{\alpha_a}}}$