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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Wärmeleitung durch eine zylindrische Wand

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmeleitung durch eine zylindrische Wand

In diesem Abschnitt wird der Wärmestrom für zylindrische Wände z.B. Rohre aufgeführt. Handelt es sich um zylindrische Wände mit sehr kleinen Wandstärken und großen Durchmessern, so kann die Berechnung annähernd wie bei einer ebenen Wand erfolgen. Sind hingegen große Wandstärken gegeben, ist diese Näherung unzulässig. Man stelle sich hierzu ein Rohr vor. Das Rohr hat in der Mitte einen Hohlraum, von welchem aus die Betrachtung erfolgt. Durch das Rohr fließt eine Wärmemenge $Q$. Die Fläche $A$ ist nun nicht mehr konstant, wie es bei der ebenen Wand der Fall war, sondern an jedem Radius verschieden: $A = f(r)$.

Wärmeleitung Hohlzylinder Querschnitt
Querschnitt einer ebenen Wand und eines Hohlzylinders

Für eine beliebige Stelle innerhalb des Rohrs erhält man dann:

Methode

$\dot{Q} = - \lambda_m \cdot A \frac{dT}{dr}$

In der obigen Grafik wird deutlich, dass die Fläche $A$ bei der ebenen Wand konstant ist. Sowohl die linke, als auch die rechte Wand weisen dieselbe Fläche $ A = h \cdot b$ auf. Bei dem Hohlzylinder hingegen ist dies nicht der Fall. Die innere Rohrwand besitzt nicht denselben Umfang wie der äußere Umfang. In diesem Fall ist der innere Umfang des Rohrs kleiner als der äußere, demnach weisen Innenwand und Außenwand des Rohrs unterschiedliche Flächen auf. Der Umfang eines Kreises wird bestimmt durch:

$U = 2 \cdot \pi \cdot r$.

Die Fläche wird dann bestimmt, indem die Rohrlänge $l$ hinzugezogen wird:

$A(r) = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l$.

Da der Radius der Innenwand nun aber kleiner ausfällt, als der Radius der Außenwand (Bezugspunkt ist die Mitte des Rohrs), ist die Fläche $A$ also abhängig von $r$: $A(r)$. Einsetzen in die obige Formel ergibt:

$\dot{Q} = - \lambda_m \cdot A(r) \frac{dT}{dr}$

Methode

$\dot{Q} = - \lambda_m \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l \cdot \frac{dT}{dr}$


Trennung der Veränderlichen führt zu (Umformung der Gleichung):

$\frac{dr}{r} = - \lambda_m \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\dot{Q}} \cdot dT$

Intergralbildung:

$\int \frac{1}{r} \; dr  = - \lambda_m \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\dot{Q}} \int  dT$

Es wird auf der linken Seite vom Innenradius $r_i$ bis zum Außenradius $r_a$ integriert, denn hier fließt die Wärmemenge durch. Außerdem wird rechts der Gleichung von der Innentemperatur $T_i$ zur Außentemperatur $T_a$ integriert:

$\int_{r_i}^{r_a} \frac{1}{r} \; dr  = - \lambda_m \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\dot{Q}} \int_{T_i}^{T_a}  dT$

Integration führt zu:

$\ln(r) |_{r_i}^{r_a}  = - \lambda_m \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\dot{Q}} \cdot T |_{T_i}^{T_a}$

Einsetzen der Grenzen:

$\ln(r_a) - ln(r_i)  = - \lambda_m \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\dot{Q}} \cdot (T_a - T_i)$

Davon ausgehend, dass $T_i > T_a$ ergibt sich:

$\ln(r_a) - \ln(r_i)  = \lambda_m \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\dot{Q}} \cdot (T_i - T_a)$

Umstellen nach dem Wärmestrom $\dot{Q}$ ergibt dann den Wärmestrom für den Hohlzylinder:

Methode

$\dot{Q} =  \lambda_m \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\ln(r_a) - \ln(r_i)} \cdot (T_i - T_a)$

Wie bereits oben erwähnt kann die Berechnung des Wärmestroms für sehr dünnwandige Zylinder mittels der Formeln für die ebene Wand erfolgen. Der Umfangsunterschied zwischen Innen- und Außenwand ist bei sehr dünnwandigen Profilen sehr gering. Je dünner die Wand desto geringer also der Umfangsunterschied. Bei sehr dünnwandigen Profilen sind diese also näherungsweise gleich und damit kann die Formel für die ebene Wand herangezogen werden, bei welcher davon ausgegangen wurde, dass Innen-und Außenwand die gleiche Fläche aufweisen $A = const$.

Hohlzylinder aus mehreren Schichten

Besteht ein Hohlzylinder aus mehreren Schichten, so erhält man den gesamtem Wärmestrom durch die Wand des Hohlzylinders, indem die Wärmeströme der einzelnen Schichten aufgestellt und die Temperaturdifferenzen miteinander addiert werden. Diese Vorgehensweise ist zulässig, weil die Wärmeströme in jeder Schicht konstant sein müssen. Die Vorgehensweise ist analog zur Berechnung des Wärmestroms der ebenen Wand bei mehreren Schichten. Es wird von einem Hohlzylinder ausgegangen, dessen Wand 3 Schichten aufweist. Das bedeutet unterschiedliche Temperaturen, unterschiedliche Radien und unterschiedliche Wärmeleitfähigkeiten:

$\dot{Q} = \lambda_{m1} \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\ln(r_2) - \ln(r_1)} \cdot (T_1 - T_2)$

$\dot{Q} = \lambda_{m2} \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\ln(r_3) - \ln(r_2)} \cdot (T_2 - T_3)$

$\dot{Q} = \lambda_{m3} \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\ln(r_4) - \ln(r_3)} \cdot (T_3 - T_4)$

GRAFIK

Die Gleichungen werden dann nach den Temperaturdifferenzen aufgelöst, diese miteinander addiert und die rechten Seiten dann ebenfalls miteianander addiert. Es resultiert:

$\large{T_1 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{2 \cdot \pi \cdot l} \cdot (\frac{\ln(r_2) - \ln(r_1)}{\lambda_{m1}} + \frac{\ln(r_3) - \ln(r_2)}{\lambda_{m2}} + \frac{\ln(r_4) - \ln(r_3)}{\lambda_{m3}})}$

Auflösen nach dem Wärmestrom ergibt sich dann:

Methode

$\Large{\dot{Q} = \frac{2 \cdot \pi \cdot l \cdot (T_1 - T_4)}{\frac{\ln(r_2) - \ln(r_1)}{\lambda_{m1}} + \frac{\ln(r_3) - \ln(r_2)}{\lambda_{m2}} + \frac{\ln(r_4) - \ln(r_3)}{\lambda_{m3}}}}$