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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Endlich langer Stab

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Endlich langer Stab

In diesem Abschnitt soll der Temperaturverlauf für einen endlich langen Stab der Länge $h$ betrachtet werden. Es gilt wieder die konstante Temperartur am Stabanfang $x = 0$. Für das Stabende bei $x = h$ ist die Steigung der Temperaturfunktion gleich Null: $\frac{dT}{dx} = 0$ (siehe folgende Grafik):

Wärmeübergang kurzer Stab

Der Stab soll außerdem am Ende zunächst adiabat abgedichtet sein, d.h. das am Stabende keine Wärmeabgabe erfolgt.

Es gilt also:

Methode

1. Randbedingung: $T(x = 0) = T_1$.

2. Randbedingung: $\frac{dT}{dx} = 0$ für $x = h$.

Es werden als nächstes die Integrationskonstanten durch die Randbedingungen bestimmt. Hierzu wird wieder die Gleichung für den Temperaturverlauf herangezogen:

Die 1. Randbedingung ergibt:

$T(x) = T_u + C_1 \cdot e^{-mx} + C_2 \cdot e^{mx}$

Einsetzen von $T(x = 0) = T_1$:

$T_1 = T_u + C_1 \cdot e^{-m \cdot 0} + C_2 \cdot e^{m \cdot 0}$

Methode

(1) $T_1 = T_u + C_1 + C_2 $


Die 2. Randbedingungen wird angewandt. Hierzu wird die Formel nach $x$ abgeleitet und dann Null gesetzt:

$\frac{dT(x)}{dx} = -m \cdot C_1 \cdot e^{-mx} + m \cdot C_2 \cdot e^{mx} = 0$


Einsetzen von $x = h$ (Länge des kurzen Stabes):

$m \cdot C_1 \cdot e^{-mh} = m \cdot C_2 \cdot e^{mh}$

$m \cdot C_1 \cdot e^{-mh} = m \cdot C_2 \cdot e^{mh}$


Auflösen nach $C_1$ und $C_2$:

Methode

(2) $C_1 = C_2 \cdot \frac{e^{mh}}{e^{-mh}}$

Einsetzen in die 1. Randbedingung:

$T_1 = T_u + C_2 \cdot \frac{e^{mh}}{e^{-mh}} + C_2 $

$T_1 = T_u + C_2 \cdot (\frac{e^{mh}}{e^{-mh}} + 1)$


Auflösen nach $C_2$:

$C_2 = \frac{T_1 – T_u}{\frac{e^{mh}}{e^{-mh}} + 1}$

$C_2 = \frac{T_1 – T_u}{\frac{e^{mh} + e^{-mh}}{e^{-mh}}}$

Methode

$C_2 = (T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{-mh}}{e^{mh} + e^{-mh}}$


Einsetzen in die 2. Randbedingung um $C_1$ zu bestimmen:

(2) $C_1 = (T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{-mh}}{e^{mh} + e^{-mh}} \cdot \frac{e^{mh}}{e^{-mh}}$


Kürzen des Bruchs ergibt:

Methode

$C_1 = (T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{mh}}{e^{mh} + e^{-mh}} $


Die beiden Integrationskonstanten müssen dann in die Hauptgleichung eingesetzt werden:

$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{mh}}{e^{mh} + e^{-mh}} \cdot e^{-mx} + (T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{-mh}}{e^{mh} + e^{-mh}} \cdot e^{mx}$


Zusammenfassen ergibt dann den Temperaturverlauf für den kurzer Stab ohne Wärmeabgabe am Stabende:

$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{e^{m \cdot (h-x)} + e^{-m \cdot (h-x)}}{e^{mh} + e^{-mh}})$

Man kann das ganze auch schreiben, indem $cosh (\varphi) = \frac{1}{2} e^{\varphi} + e^{- \varphi}$ verwendet wird (Hyperbelfunktion):

$2 cosh (m) = e^{m} + e^{- m}$ für den Zähler

$2 cosh (mh) = e^{mh} + e^{- mh}$ für den Nenner


Einsetzen ergibt:

$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{2 cosh (m \cdot (h – x)}{2 cosh(mh)})$


Der Temperaturverlauf für den kurzen Stab mit adiabten Ende ergibt sich demnach zu:

Methode

$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{cosh (m \cdot (h – x)}{cosh(mh)})$

Nimmt $mh$ große Werte an, so ändert sich die Temperatur stark. Das bedeutet also entweder bei langen Stäben ($h$ wird groß) und bei großen Wärmeübergangszahlen $\alpha$ und geringer Wärmeleitfähgkeit $\lambda$ ($m$ wird groß).

Temperatur am Stabende

Die Temperatur am Stabanfang ist konstant $T_1$. Die Temperatur am Stabende ist noch interessant. Beim langen Stab näherte diese sich der Umgebungstemperatur an. Beim kurzen Stab mit adiabaten Stabende (keine Wärmeabgabe) wird diese dann bestimmt, indem in den Temperaturverlauf für den kurzen Stab $x =h$ ersetzt wird:

$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{2 cosh (m \cdot (h – h)}{2 cosh(mh)})$

$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{cosh (m \cdot (0)}{cosh(mh)})$

mit $cosh (0) = 1$ ergibt sich dann die Temperatur am Stabende ohne Wärmeübergang:

Methode

$T(h) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot (\frac{1}{cosh(mh)})$