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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Unendlich langer Stab

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Unendlich langer Stab

Es wird als nächstes ein langer Stab (uendlich lang) betrachtet. Für diesen langen Stab soll der Temperaturverlauf bestimmt werden. Dabei gilt für $x = 0$ immer die konstante Temperatur $T_1$ und für $x \to \infty$ nähert sich die Temperatur am Ende des Stabes $T(L)$ (siehe vorherigen Abschnitt) der Umgebungstemperatur $T_u$ an:

Methode

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1. Randbedingung: $T(x = 0) = T_1$

2. Randbedingung: $T(x \to \infty) = T_u$

Es werden nun als nächstes die Integrationskonstante aus den Randbedingungen bestimmt. Hierfür wird die aus dem vorherigen Abschnitt ermittelte Formel für den Temperaturverlauf eines Stabes verwendet:

Methode

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$T(x) = T_u + C_1 \cdot e^{-mx} + C_2 \cdot e^{mx}$

Einsetzen von $T(x = 0) = T_1$ (1. Randbedingung) ergibt:

$T_1 = T_u + C_1 \cdot e^{-m \cdot 0} + C_2 \cdot e^{m \cdot 0}$


mit $e^0 = 1$ ergibt sich dann:

$T_1 = T_u + C_1 + C_2$

Methode

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$T_1 – T_u = + C_1 + C_2$


Einsetzen von $T(x \to \infty) = T_u$ (2. Randbedingung):

$T_u = T_u + C_1 \cdot e^{-m \cdot \infty} + C_2 \cdot e^{m \cdot \infty}$


mit $e^{-\infty} = 0$ ergibt sich:

$T_u = T_u + C_2 \cdot e^{m \cdot \infty}$

$T_u - T_u = C_2 \cdot e^{m \cdot \infty}$

$0 = C_2 \cdot e^{m \cdot \infty}$ / $\ln$

Methode

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$C_2 = 0$


Einsetzen von $C_2 = 0$ in das Ergebnis aus der 1. Randbedingung:

$T_1 – T_u = C_1 $

Insgesamt ergibt sich also der Temperaturverlauf eines langen Stabes zu:

Methode

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$T(x) = T_u + (T_1 – T_u) \cdot e^{-mx} $