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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmewiderstand

Der (absolute) WärmeWiderstand $R_{th}$ (auch: thermischer Widerstand) ist ein Maß für die Temperaturdifferenz $\triangle T$, die entsteht, wenn ein Wärmestrom $\dot{Q}$ durch ein Objekt (z.B. durch eine ebene, zylindrische oder Hohlkugelwand oder eine Grenzschicht) hindurchfließt. Der Wärmewiderstand wird durch die Temperaturdifferenz $\triangle T$ pro Wärmestrom $\dot{Q}$ mit der Einheit [K/W] ausgedrückt. Für den Wärmewiderstand ist das Symbol $R_{th}$ bzw. in der englischen Literatur $\theta$ üblich. Mittels des Wärmewiderstandes lassen sich die thermischen Eigenschaften unterschiedlicher Objekte miteinander vergleichen. 

Der Wärmewiderstand ergibt sich in Anlehnung an das Ohm'sche Gesetz (elektrischer Widerstand):

Methode

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$R = \frac{U}{I}$                          Elektrischer Widerstand

mit

$R$ = elektrischer Widerstand

$U$ = Spannung

$I$ = Stromstärke


In Anlehnung an dieses Gesetz, kann der Wärmewiderstand definiert werden durch:

Methode

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$R_{th} = \frac{\triangle T}{\dot{Q}}$                 Wärmewiderstand

mit

$R_{th} $ = Wärmewiderstand

$\triangle T$ = Temperaturdifferenz z.B. zwischen Außen- und Innenwand.

$\dot{Q} $ = Wärmestrom

Es können nun durch Einsetzen der gesamten Wärmeströme aus den vorherigen Abschnitten die Wärmewiderstände für die ebene Wand, die zylindrische Wand und die Hohlkugelwand bestimmt werden. 

Merke

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Wichtig ist zu beachten, welcher Wärmewiderstand gesucht wird. Ist nach dem gesamten Wärmewiderstand von einem Medium zum anderen Medium gefragt, so muss der gesamte Wärmestrom durch die Wand und die Grenzschichten herangezogen werden. Man kann dann wie folgt vorgehen:

-Entweder man setzt den gesamten Wärmestrom durch die Wand und die Grenzschichten in die obige Formel ein oder

-man setzt den Wärmestrom durch die Wand in die obige Formel ein und bestimmt den Wärmewiderstand und berechnet dann in einem zweiten Schritt den Wärmewiderstand der Grenzschichten, indem man den Wärmestrom der Grenzschichten in die obige Formel einsetzt. 

Im Folgenden sind die einzelnen Wärmewiderstände durch die ebene, zylindrische und Hohlkugelwand sowie durch die Grenzschichten aufgeführt.

Wärmewiderstand für die ebene Wand

$R_{th} = \frac{\triangle T}{ \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2)}$


Es gilt $\triangle T = T_1 - T_2$:

Methode

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$R_{th} = \frac{1}{ \frac{\lambda_m}{s} \cdot A} = \frac{s}{\lambda_m \cdot A}$      Wärmewiderstand ebene Wand


Für die ebene Wand mit mehreren Schichten (hier: 3 Schichten) ergibt sich dann (mit $\triangle T = T_1 - T_4$):

Methode

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$R_{th} = (\frac{s_1}{\lambda_{m_1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m_2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m_3}}) \cdot \frac{1}{A}$

Wärmewiderstand für die zylindrische Wand

Für die zylindrische einschichtige Wand ergibt sich ein Wärmewiderstand von:

Methode

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$R_{th} =  \frac{\ln(r_a) - \ln(r_i)}{ \lambda_m \cdot 2 \cdot \pi \cdot l}$


Für eine zylindrische mehrschichte Wand (hier: 3 Schichten) ergibt sich der Wärmewiderstand zu:

Methode

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$R_{th} =  (\frac{\ln(r_2) - \ln(r_1)}{\lambda_{m1}} + \frac{\ln(r_3) - \ln(r_2)}{\lambda_{m2}} + \frac{\ln(r_4) - \ln(r_3)}{\lambda_{m3}}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot l}$

Wärmewiderstand für Hohlkugelwand

Für die einschichtige Hohlkugelwand ergibt sich ein Wärmewiderstand von:

Methode

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$R_{th} = (\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}) \cdot \frac{1}{\lambda_m \cdot 4 \cdot \pi}$


Für die mehrschichtige Hohlkugelwand (hier: 3 Schichten) ergibt sich ein Wärmewiderstand von:

Methode

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$R_{th} = \frac{\frac{1}{\lambda_{m1}} \cdot (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) + \frac{1}{\lambda_{m2}} \cdot (\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3})+ \frac{1}{\lambda_{m3}} \cdot (\frac{1}{r_3} - \frac{1}{r_4})}{4 \cdot \pi}$

Wärmewiderstand der Grenzschicht

Für die Grenzschicht auf der Innenseite der betrachteten Wand gilt:

Methode

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$R_{th} = \frac{1}{h_1 \cdot A}$


Für die Grenzschicht auf der Außenseite der betrachteten Wand gilt:

Methode

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$R_{th} = \frac{1}{h_2 \cdot A}$

Bei den Grenzschichten muss man die Fläche $A$ entsprechend der ausgewählten Wand anpassen.