ZU DEN KURSEN!

Baustatik 1 - Äußere Eigenarbeit

Kursangebot | Baustatik 1 | Äußere Eigenarbeit

Baustatik 1

Äußere Eigenarbeit

Die Eigenarbeit einer Kraft $F$ ist die Formänderungsarbeit, die von der Kraft auf dem Weg geleistet wird, welcher durch diese Kraft selbst hervorgerufen wird.

Eigenarbeit einer Kraft (Formänderungsarbeit)
Eigenarbeit einer Kraft

 

Die obige Grafik zeigt einen Balken, welcher durch die äußere Kraft $F$ belastet wird. Infolge der äußeren Belastung verformt sich der Balken wie oben dargestellt. Der Angriffspunkt der Kraft $F$ verschiebt sich dadurch um $\delta$. Auf dem Weg $\delta$ wird von der Kraft $F$ Eigenarbeit geleistet. Wir müssen zur Berechnung dieser Eigenarbeit aber eine Voraussetzung treffen:

Die Kraft $F$ wird unendlich langsam und nicht unmittelbar mit ihrer gesamten Kraft auf den Balken aufgebracht, weil sonst Schwingungen entstehen können. Die Kraft wird nach und nach in vielen kleinen Teilen aufgebracht (theoretisch undendlich viele). Es werden damit unendlich viele Gleichwichtszustände durchlaufen. Die Verformung wird von der Kraft selbst erzeugt und damit sind Kraft und Verformung proportional zueinander:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$F = c \cdot \delta$

Dabei ist $c$ die Proportionalitätskonstante. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Zwischen zwei veränderlichen Größen besteht eine Proportionalität, wenn sie immer in demselben Verhältnis zueinander stehen.

Wollen wir nun die Arbeit $W$ berechnen so gilt:

$W_{eig} = \int_0^{\delta} F \;  d\delta = \int_0^{\delta} c \cdot \delta \; d\delta $

Da $c$ eine Konstante ist, gilt:

$W_{eig} = c \int_0^{\delta} \delta \; d\delta $

Auflösen des Integrals führt zur Eigenarbeit:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

(1) $W_{eig} = \frac{1}{2} c \delta^2$


Einsetzen von $F = c \delta$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

(2) $W_{eig} = \frac{1}{2} F \delta$


Einsetzen von $\delta = \frac{F}{c}$ ergibt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

(3) $W_{eig} = \frac{1}{2} \frac{F^2}{c}$ 

Merke

Hier klicken zum AusklappenDie drei obigen Gleichungen (1),(2) und (3) stellen drei verschiedene Schreibweisen für die Eigenarbeit dar. Die anschaulichste Schreibweise stellt die Gleichung (2) dar:

$W_{eig} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot \delta$

Der Faktor $\frac{1}{2}$ zeigt an, dass die Arbeit für aufeinanderfolgende Gleichgewichtszustände berechnet wird, d.h. die Kraft $F$ wächst erst mit dem Weg $\delta$ allmählich an, wird also nicht sofort in in ihrer gesamten Größe aufgebracht. In der nachfolgenden Grafik (linkes Diagramm) ist die Eigenarbeit der Flächeninhalt der schraffierten dreieckigen Fläche:

Eigenarbeit - Kraft und Weg sind proportional
Eigenarbeit grafisch

 

Die Eigenarbeit ist in Abhängigkeit von $\delta$ [Gleichung (1)] sowie in Abhängigkeit von $F$ [Gleichung (3)] eine Parabel (siehe rechtes Diagramm). 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Die Eigenarbeit ist die Arbeit, die eine Kraft auf dem von ihr selbst verursachten Weg leistet.