Die Eigenarbeit einer Kraft $F$ ist die Formänderungsarbeit, die von der Kraft auf dem Weg geleistet wird, welcher durch diese Kraft selbst hervorgerufen wird.
Die obige Grafik zeigt einen Balken, der durch die äußere Kraft $F$ belastet wird. Infolge der äußeren Belastung verformt sich der Balken wie oben dargestellt. Der Angriffspunkt der Kraft $F$ verschiebt sich dadurch um $\delta$. Auf dem Weg $\delta$ wird von der Kraft $F$ Eigenarbeit geleistet. Wir müssen zur Berechnung dieser Eigenarbeit aber eine Voraussetzung treffen:
Die Kraft $F$ wird unendlich langsam und nicht unmittelbar mit ihrer gesamten Kraft auf den Balken aufgebracht, weil sonst Schwingungen entstehen können. Die Kraft wird nach und nach in vielen kleinen Teilen aufgebracht (theoretisch unendlich viele). Es werden damit unendlich viele Gleichgewichtszustände durchlaufen. Die Verformung wird von der Kraft selbst erzeugt und damit sind Kraft und Verformung proportional zueinander:
Methode
$F = c \cdot \delta$
Dabei ist $c$ die Proportionalitätskonstante.
Merke
Zwischen zwei veränderlichen Größen besteht eine Proportionalität, wenn sie immer in demselben Verhältnis zueinanderstehen.
Wollen wir nun die Arbeit $W$ berechnen so gilt:
$W_{eig} = \int_0^{\delta} F \; d\delta = \int_0^{\delta} c \cdot \delta \; d\delta $
Da $c$ eine Konstante ist, gilt:
$W_{eig} = c \int_0^{\delta} \delta \; d\delta $
Auflösen des Integrals führt zur Eigenarbeit:
Methode
(1) $W_{eig} = \frac{1}{2} c \delta^2$
Einsetzen von $F = c \delta$:
Methode
(2) $W_{eig} = \frac{1}{2} F \delta$
Einsetzen von $\delta = \frac{F}{c}$ ergibt:
Methode
(3) $W_{eig} = \frac{1}{2} \frac{F^2}{c}$
Merke
$W_{eig} = \frac{1}{2} \cdot F \cdot \delta$
Der Faktor $\frac{1}{2}$ zeigt an, dass die Arbeit für aufeinanderfolgende Gleichgewichtszustände berechnet wird, d. h. die Kraft $F$ wächst erst mit dem Weg $\delta$ allmählich an, wird also nicht sofort in ihrer gesamten Größe aufgebracht. In der nachfolgenden Grafik (linkes Diagramm) entspricht die Eigenarbeit dem Flächeninhalt der schraffierten dreieckigen Fläche:
Die Eigenarbeit ist in Abhängigkeit von $\delta$ [Gleichung (1)] sowie in Abhängigkeit von $F$ [Gleichung (3)] eine Parabel (siehe rechtes Diagramm).
Merke
Die Eigenarbeit ist die Arbeit, die eine Kraft auf dem von ihr selbst verursachten Weg leistet.
